Question

Let $a:[1,\infty )\to \mathrm{ℝ}$be a continuous, positive, and decreasing function. Complete the proof of the integral test (Theorem 7.28) by showing that if the improper integral ${\int }_1^{\infty }a\left(x\right)dx$converges, then the series localid="1649180069308" $\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }a\left(k\right)$does too.

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{sequence}\mathrm{of}\mathrm{partial}\mathrm{sums}{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}=\sum _{\mathrm{i}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}\mathrm{is}\mathrm{bounded}\mathrm{above}\mathrm{by}\mathrm{M}. \\ \mathrm{The}\mathrm{terms}\mathrm{are}\mathrm{positive}.\mathrm{Therefore}, \\ {\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}\le {\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+1} \\ {\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}\le {\mathrm{s}}_{\mathrm{n}+1} \\ \mathrm{The}\mathrm{sequence}\mathrm{of}\mathrm{partial}\mathrm{sum}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{increasing}\mathrm{sequence}\mathrm{and}\mathrm{is}\mathrm{bounded}\mathrm{above}\mathrm{by}\mathrm{M}. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{sequence}\left\{{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}\right\}\mathrm{is}\mathrm{convergent}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\mathrm{a}\left(\mathrm{k}\right)\mathrm{is}\mathrm{convergent}. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

${\int }_1^{\infty }\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\mathrm{converges}$and

$\mathrm{a}:[1,\infty )\to \mathrm{ℝ}\mathrm{is}\mathrm{continuous},\mathrm{decreasing}\mathrm{and}\mathrm{positive}\mathrm{function}.$

Step 2. Evaluating integral

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{integral}{\int }_1^{\infty }\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\mathrm{is}\mathrm{convergent}.\mathrm{If}\mathrm{the}\mathrm{integral}\mathrm{is}\mathrm{convergent}, \\ \mathrm{then}\mathrm{the}\mathrm{integral}{\int }_1^{\infty }\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\mathrm{must}\mathrm{have}\mathrm{a}\mathrm{finite}\mathrm{value}. \\ \mathrm{Therefore}, \\ {\int }_1^{\infty }\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{M} \end{gathered}$$

Step 3. Solving for partial sum

$$\begin{gathered} \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{is}\mathrm{positive}.\mathrm{Therefore}, \\ {\int }_1^{\mathrm{n}}\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}<{\int }_1^{\infty }\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}.....\left(1\right) \\ \mathrm{Also}, \\ \sum _{\mathrm{i}=2}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}<{\int }_1^{\mathrm{n}}\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}.....\left(2\right) \\ \mathrm{From}\mathrm{equations}\left(1\right)\mathrm{and}\left(2\right), \\ \sum _{\mathrm{i}=2}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}<{\int }_1^{\infty }\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}.....\left(3\right) \\ \mathrm{Also}, \\ \sum _{\mathrm{i}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}={\mathrm{a}}_1+\sum _{\mathrm{i}=2}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}} \\ \mathrm{Using}\mathrm{equation}\left(3\right), \\ \sum _{\mathrm{i}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}<{\int }_1^{\infty }\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ \sum _{\mathrm{i}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}<\mathrm{M} \end{gathered}$$

Step 4. Result

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{sequence}\mathrm{of}\mathrm{partial}\mathrm{sums}{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}=\sum _{\mathrm{i}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}\mathrm{is}\mathrm{bounded}\mathrm{above}\mathrm{by}\mathrm{M}. \\ \mathrm{The}\mathrm{terms}\mathrm{are}\mathrm{positive}.\mathrm{Therefore}, \\ {\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}\le {\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+1} \\ {\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}\le {\mathrm{s}}_{\mathrm{n}+1} \\ \mathrm{The}\mathrm{sequence}\mathrm{of}\mathrm{partial}\mathrm{sum}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{increasing}\mathrm{sequence}\mathrm{and}\mathrm{is}\mathrm{bounded}\mathrm{above}\mathrm{by}\mathrm{M}. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{sequence}\left\{{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}\right\}\mathrm{is}\mathrm{convergent}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\mathrm{a}\left(\mathrm{k}\right)\mathrm{is}\mathrm{convergent}. \end{gathered}$$