Question

In Exercises 48–51 find all values of p so that the series converges.

$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{k}{{(1+k^2)}^p}$

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{integral}{\int }_{\mathrm{x}=1}^{\infty }\frac{\mathrm{x}}{{\left(1+{\mathrm{x}}^2\right)}^{\mathrm{p}}}\mathrm{dx}\mathrm{converges}\mathrm{for}\mathrm{p}>1. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{\mathrm{k}}{{(1+{\mathrm{k}}^2)}^{\mathrm{p}}}\mathrm{is}\mathrm{convergent}\mathrm{for}\mathrm{p}>1. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{k}{{(1+k^2)}^p}$

Step 2. Examining nature of given function:

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}}{{\left(1+{\mathrm{x}}^2\right)}^{\mathrm{p}}}. \\ \mathrm{The}\mathrm{function}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}}{{\left(1+{\mathrm{x}}^2\right)}^{\mathrm{p}}}\mathrm{is}\mathrm{continuous},\mathrm{decreasing},\mathrm{with}\mathrm{positive}\mathrm{terms}. \\ \mathrm{Therefore}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{conditions}\mathrm{of}\mathrm{integral}\mathrm{test}\mathrm{are}\mathrm{fulfilled}. \\ \mathrm{So},\mathrm{integral}\mathrm{test}\mathrm{is}\mathrm{applicable}. \end{gathered}$$

Step 3. Solving the integral:

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{integral}:{\int }_{\mathrm{x}=1}^{\infty }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}={\int }_{\mathrm{x}=1}^{\infty }\frac{\mathrm{x}}{{\left(1+{\mathrm{x}}^2\right)}^{\mathrm{p}}}\mathrm{dx}. \\ \mathrm{Therefore}, \\ {\int }_{\mathrm{x}=1}^{\infty }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\int }_{\mathrm{x}=1}^{\mathrm{k}}\frac{\mathrm{x}}{{\left(1+{\mathrm{x}}^2\right)}^{\mathrm{p}}}\mathrm{dx} \\ =\frac{1}{2}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\int }_{\mathrm{u}=2}^{{\mathrm{k}}^2+1}\frac{\mathrm{du}}{{\mathrm{u}}^{\mathrm{p}}}\left(\mathrm{Put}1+{\mathrm{x}}^2=\mathrm{u},\Rightarrow 2\mathrm{xdx}=\mathrm{du}\right) \\ =\frac{1}{2}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\left[\frac{{\mathrm{u}}^{-\mathrm{p}+1}}{-\mathrm{p}+1}\right]}_2^{{\mathrm{k}}^2+1}\left(\mathrm{Integrating}\right) \\ =\frac{1}{2(-\mathrm{p}+1)}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\left[\frac{1}{{\mathrm{u}}^{\mathrm{p}-1}}\right]}_2^{{\mathrm{k}}^2+1}\left(\mathrm{Substitution}\right) \end{gathered}$$

Step 4. Result:

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{improper}\mathrm{integral}\mathrm{converges}\mathrm{to}\mathrm{finite}\mathrm{value}\mathrm{only}\mathrm{when}\mathrm{p}>1. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{integral}{\int }_{\mathrm{x}=1}^{\infty }\frac{x}{{\left(1+x^2\right)}^p}\mathrm{dx}\mathrm{converges}\mathrm{for}\mathrm{p}>1. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{k}{{(1+k^2)}^p}\mathrm{is}\mathrm{convergent}\mathrm{for}\mathrm{p}>1. \end{gathered}$$