Question

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k+1}{a}_{k}and\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^k{a}_k \\ \mathrm{where} \\ \left(\mathrm{i}\right)\left\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right\}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{sequence}\mathrm{of}\mathrm{positive}\mathrm{number} \\ \left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{the}\mathrm{sequence}\left\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right\}\mathrm{is}\mathrm{strictly}\mathrm{decreasing} \\ \left(\mathrm{iii}\right)\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}=0 \end{gathered}$$

Find an example of a divergent series of the form

(a) that satisfies conditions (i) and (iii), but not condition (ii);

(b) that satisfies conditions (i) and (ii), but not condition (iii).

Short answer

(i)$$\begin{gathered} \left(i\right)T\mathrm{he}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{(-1)}^{\mathrm{k}+1}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}} \\ \mathrm{satisfying}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{condition}\mathrm{is}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{\mathrm{k}+1}}{2^{\mathrm{k}}}. \\ \left(ii\right),The\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{(-1)}^{\mathrm{k}+1}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}} \\ \mathrm{satisfying}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{condition}\mathrm{is}\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{k+1}k}{2k-1^{}}. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k+1}{a}_{k}and\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^k{a}_k \\ \mathrm{where} \\ \left(\mathrm{i}\right)\left\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right\}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{sequence}\mathrm{of}\mathrm{positive}\mathrm{number} \\ \left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{the}\mathrm{sequence}\left\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right\}\mathrm{is}\mathrm{strictly}\mathrm{decreasing} \\ \left(\mathrm{iii}\right)\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}=0 \end{gathered}$$

Step 2. Hypothesis of alternating series

$$\begin{gathered} \mathrm{It}\mathrm{states}\mathrm{that} \\ \mathrm{if}\left\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right\}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{sequence}\mathrm{of}\mathrm{positive}\mathrm{number}\mathrm{with}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+!}<{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{k}\ge 1\mathrm{and}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}=0 \\ \mathrm{then}\mathrm{alternating}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{(-1)}^{\mathrm{k}+1}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{(-1)}^{\mathrm{k}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{both}\mathrm{converge}\mathrm{is}\left|{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}\right|<\left|{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right| \end{gathered}$$

Part(a) Step 3. Explanation

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{(-1)}^{k+1}{a}_k=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{k+1}}{2^k} \\ \mathrm{The}\mathrm{sequence}\left\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right\}=\left\{\frac{1}{2^{\mathrm{k}}}\right\}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{positive}\mathrm{terms} \\ \mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{of}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}=\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{\mathrm{k}}\right) \\ =0 \\ \mathrm{But}\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{(-1)}^{\mathrm{k}+1}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}=\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{\mathrm{k}+1}}{2^{\mathrm{k}}}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{increasing}\mathrm{series}. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{(-1)}^{\mathrm{k}+1}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{satisfying}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{condition}\mathrm{is}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{\mathrm{k}+1}}{2^{\mathrm{k}}}. \end{gathered}$$

Part(b) Step 4. Explanation

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{(-1)}^{k+1}{a}_k=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{k+1}k}{2k-1^{}} \\ \mathrm{The}\mathrm{sequence}\left\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right\}=\left\{\frac{k}{2k-1^{}}\right\}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{positive}\mathrm{terms} \\ \mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{of}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}=\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\left(\frac{k}{2k-1}\right) \\ =\frac{1}{2} \\ \mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{(-1)}^{\mathrm{k}+1}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{satisfying}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{condition}\mathrm{is}\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{k+1}k}{2k-1^{}}. \end{gathered}$$