Question

Consider the series

Fill in the blanks and select the correct word:

$If\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{a_k}{b_k}=\infty \mathrm{and}\sum _{k=1}^{\infty }\_\_\_\_\_\mathrm{diverges}t\mathrm{he}n\sum _{k=1}^{\infty }\_\_\_\_\mathrm{\_}(\mathrm{converges}/\mathrm{diverges}).$

Short answer

$\mathrm{The}\mathrm{first}\mathrm{blank}\mathrm{is}\mathrm{filled}\mathrm{with}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{and}\mathrm{second}\mathrm{with}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}.$

Step-by-step solution

Step 1. Given information

$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{a_k}{b_k}=\infty$.

Step 2. Limit comparison test 

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{limit}\mathrm{comparison}\mathrm{test}\mathrm{states}\mathrm{that}\mathrm{for}\mathrm{and}\mathrm{be}\mathrm{two}\mathrm{series}\mathrm{with}\mathrm{positive}\mathrm{terms}\mathrm{then} \\ \mathrm{If}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=\mathrm{L}\mathrm{Where}\mathrm{L}\mathrm{is}\mathrm{any}\mathrm{positive}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{then}\mathrm{either}\mathrm{both}\mathrm{converges}\mathrm{or}\mathrm{diverges}. \\ \mathrm{If}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=0\mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges}\mathrm{then}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges}. \\ \mathrm{If}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=\infty \mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{diverges}\mathrm{then}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{diverges}. \end{gathered}$$

Step 3. Result 

$$\begin{gathered} \mathrm{If}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=\infty \mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{diverges}\mathrm{then}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{diverges}. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{blank}\mathrm{is}\mathrm{filled}\mathrm{with}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{and}\mathrm{second}\mathrm{with}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}. \end{gathered}$$