Question

If $\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{a_k}{b_k}\mathrm{Where}Lis$ a positive finite number, what may we conclude about the two series?

Short answer

$\mathrm{Hence}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=\mathrm{L}\mathrm{Where}\mathrm{L}\mathrm{is}\mathrm{any}\mathrm{positive}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{then}\mathrm{either}\mathrm{both}\mathrm{converges}\mathrm{or}\mathrm{diverges}.$

Step-by-step solution

Step 1. Given information

$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{a_k}{b_k}=L$

Step 2. Limit comparison test

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{limit}\mathrm{comparison}\mathrm{test}\mathrm{states}\mathrm{that}\mathrm{for}\mathrm{and}\mathrm{be}\mathrm{two}\mathrm{series}\mathrm{with}\mathrm{positive}\mathrm{terms}\mathrm{then} \\ \mathrm{If}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=\mathrm{L}\mathrm{Where}\mathrm{L}\mathrm{is}\mathrm{any}\mathrm{positive}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{then}\mathrm{either}\mathrm{both}\mathrm{converges}\mathrm{or}\mathrm{diverges}. \\ \mathrm{If}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=0\mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges}\mathrm{then}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges}. \\ \mathrm{If}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=\infty \mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{diverges}\mathrm{then}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{diverges}. \end{gathered}$$

Step 3. Result

$\mathrm{Hence}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=\mathrm{L}\mathrm{Where}\mathrm{L}\mathrm{is}\mathrm{any}\mathrm{positive}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{then}\mathrm{either}\mathrm{both}\mathrm{converges}\mathrm{or}\mathrm{diverges}.$