Question

Let 0 < p < 1. Evaluate the limit$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{1/k\ln k}{1/k^p}$

Explain why we cannot use a p-series with 0 < p < 1 in a limit comparison test to verify the divergence of the series$\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{k\log k}$

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{p}-\mathrm{series}\mathrm{is}\mathrm{divergent}\mathrm{for}0<\mathrm{p}<1.\mathrm{The}\mathrm{limit}\mathrm{comparison}\mathrm{test}\mathrm{if}\mathrm{the}\mathrm{ratio}\mathrm{is}\mathrm{zero}\mathrm{states}\mathrm{that}\mathrm{if} \\ \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}\mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges},\mathrm{then}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges} \\ \mathrm{The}\mathrm{limit}\mathrm{comparison}\mathrm{test}\mathrm{fails}\mathrm{to}\mathrm{give}\mathrm{any}\mathrm{information}\mathrm{about}\mathrm{the}\mathrm{divergence}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{series} \\ \sum _{\mathrm{k}=2}^{\infty }\frac{1}{\mathrm{k}\mathrm{lnk}} \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given

$\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{k\log k}$

Step 2.Finding the value of the expression

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{expression}\mathrm{is}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{1/\mathrm{k}\mathrm{lnk}}{1/{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}} \\ \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{1/\mathrm{k}\mathrm{lnk}}{1/{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}=\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}{\mathrm{k}\ln \mathrm{k}} \\ =\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}-1}}{\ln \mathrm{k}} \\ =\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{(\mathrm{p}-1){\mathrm{k}}^{\mathrm{p}-2}}{{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{k}}}}(\mathrm{using}\text{'}\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{hospital}\mathrm{rule}) \\ =\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{(\mathrm{p}-1)}{{\mathrm{k}}^{1-\mathrm{p}}} \\ =0 \end{gathered}$$

Step 3. Limit comparison test

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{limit}\mathrm{comparison}\mathrm{test}\mathrm{states}\mathrm{that}\mathrm{for}\mathrm{and}\mathrm{be}\mathrm{two}\mathrm{series}\mathrm{with}\mathrm{positive}\mathrm{terms}\mathrm{then} \\ \mathrm{If}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=\mathrm{L}\mathrm{Where}\mathrm{L}\mathrm{is}\mathrm{any}\mathrm{positive}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{then}\mathrm{either}\mathrm{both}\mathrm{converges}\mathrm{or}\mathrm{diverges}. \\ \mathrm{If}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=0\mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges}\mathrm{then}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges}. \\ \mathrm{If}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}=\infty \mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{diverges}\mathrm{then}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{diverges}. \end{gathered}$$

Step 4. Result

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{expression}\mathrm{is}\underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{1/\mathrm{k}\mathrm{lnk}}{1/{\mathrm{k}}^{\mathrm{p}}}=0 \\ \mathrm{The}\mathrm{p}-\mathrm{series}\mathrm{is}\mathrm{divergent}\mathrm{for}0<\mathrm{p}<1.\mathrm{The}\mathrm{limit}\mathrm{comparison}\mathrm{test}\mathrm{if}\mathrm{the}\mathrm{ratio}\mathrm{is}\mathrm{zero}\mathrm{states}\mathrm{that}\mathrm{if} \\ \underset{\mathrm{k}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}}\mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges},\mathrm{then}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{converges} \\ \mathrm{The}\mathrm{limit}\mathrm{comparison}\mathrm{test}\mathrm{fails}\mathrm{to}\mathrm{give}\mathrm{any}\mathrm{information}\mathrm{about}\mathrm{the}\mathrm{divergence}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{series} \\ \sum _{\mathrm{k}=2}^{\infty }\frac{1}{\mathrm{k}\mathrm{lnk}} \end{gathered}$$