Question

What is a difference between a Taylor polynomial and the Taylor series for a function f at a point $x_0$?

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{So},\mathrm{a}\mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{degree}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{approximation}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0. \\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{possible}\mathrm{for}\mathrm{a}\mathrm{Taylor}\mathrm{series}\mathrm{for}\mathrm{a}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{to}\mathrm{converge}\mathrm{to}\mathrm{f}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{interval}\mathrm{of} \\ \mathrm{convergence}\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{series}.\mathrm{In}\mathrm{other}\mathrm{words},\mathrm{a}\mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{alternate}\mathrm{way} \\ \mathrm{to}\mathrm{represent}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{interval}\mathrm{of}\mathrm{convergence}.\mathrm{But}\mathrm{this}\mathrm{approximation}\mathrm{by} \\ \mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{improves}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{degree}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{polynomial}\mathrm{increases}. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

A function f with Taylor polynomial and the Taylor series

Step 2. Taylor polynomial 

$$\begin{gathered} \mathrm{For}\mathrm{any}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{with}\mathrm{derivative}\mathrm{of}\mathrm{order}\mathrm{n},\mathrm{then}\mathrm{the}\mathrm{Taylor} \\ \mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{degree}\mathrm{n}\mathrm{at}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0\mathrm{is}, \\ {\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0)=\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)+\mathrm{f}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)+\frac{\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{2!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^2+....+\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{n}}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{n}!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^{\mathrm{n}} \\ \mathrm{The}\mathrm{general}\mathrm{form}\mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{degree}\mathrm{n}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}: \\ {\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{k}!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^{\mathrm{k}} \end{gathered}$$

Step 3. Taylor Series

$$\begin{gathered} \mathrm{For}\mathrm{any}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{with}\mathrm{derivative}\mathrm{of}\mathrm{order}\mathrm{n},\mathrm{then}\mathrm{the}\mathrm{Taylor} \\ \mathrm{series}\mathrm{at}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0\mathrm{is}, \\ {\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0)=\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)+\mathrm{f}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)+\frac{\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{2!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^2+..... \\ \mathrm{The}\mathrm{general}\mathrm{form}\mathrm{Taylor}\mathrm{series}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}: \\ {\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\infty }\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{k}!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^{\mathrm{k}} \end{gathered}$$

Step 4. Result

$$\begin{gathered} \mathrm{So},\mathrm{a}\mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{degree}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{approximation}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0. \\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{possible}\mathrm{for}\mathrm{a}\mathrm{Taylor}\mathrm{series}\mathrm{for}\mathrm{a}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{to}\mathrm{converge}\mathrm{to}\mathrm{f}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{interval}\mathrm{of} \\ \mathrm{convergence}\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{series}.\mathrm{In}\mathrm{other}\mathrm{words},\mathrm{a}\mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{alternate}\mathrm{way} \\ \mathrm{to}\mathrm{represent}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{interval}\mathrm{of}\mathrm{convergence}.\mathrm{But}\mathrm{this}\mathrm{approximation}\mathrm{by} \\ \mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{improves}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{degree}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{polynomial}\mathrm{increases}. \end{gathered}$$