Question

What is a difference between a Maclaurin polynomial and the Maclaurin series for a function f ?

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{From}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{and}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{polynomial},\mathrm{a}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{degree}\mathrm{n} \\ \mathrm{is}\mathrm{approximation}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}=0\mathrm{and}\mathrm{this}\mathrm{approximation}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f} \\ \mathrm{improves}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{degree}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{polynomial}\mathrm{increases}.\mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{at} \\ {\mathrm{x}}_0\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{best}\mathrm{approximation}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{fat}\mathrm{x}=0\mathrm{as}\mathrm{compared}\mathrm{to}\mathrm{any}\mathrm{of}\mathrm{the} \\ \mathrm{Maclaurin}\mathrm{polynomial}. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

A function f with Maclaurin polynomial and the Maclaurin series

Step 2. Maclaurin polynomial 

$$\begin{gathered} \mathrm{For}\mathrm{any}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{with}\mathrm{derivatives}\mathrm{of}\mathrm{all}\mathrm{orders}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{point}{\mathrm{x}}_0=0, \\ \mathrm{then}\mathrm{the}\mathrm{Maclurin}\mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{degree}\mathrm{n}\mathrm{is}, \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(0\right)+\mathrm{f}\text{'}\left(0\right)\mathrm{x}+\frac{\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(0\right)}{2!}{\mathrm{x}}^2+\frac{\mathrm{f}\text{'}\text{'}\text{'}\left(0\right)}{3!}{\mathrm{x}}^3+....+\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{n}}\left(0\right)}{\mathrm{n}!}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}} \\ \mathrm{The}\mathrm{general}\mathrm{form}\mathrm{Maclurin}\mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{degree}\mathrm{n}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}: \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left(0\right)}{\mathrm{k}!}{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}} \end{gathered}$$

Step 3. Maclaurin series 

$$\begin{gathered} \mathrm{For}\mathrm{any}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{with}\mathrm{derivatives}\mathrm{of}\mathrm{all}\mathrm{orders}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{point}{\mathrm{x}}_0=0, \\ \mathrm{then}\mathrm{the}\mathrm{Maclurin}\mathrm{series}\mathrm{of}\mathrm{degree}\mathrm{n}\mathrm{is}, \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(0\right)+\mathrm{f}\text{'}\left(0\right)\mathrm{x}+\frac{\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(0\right)}{2!}{\mathrm{x}}^2+\frac{\mathrm{f}\text{'}\text{'}\text{'}\left(0\right)}{3!}{\mathrm{x}}^3+.... \\ \mathrm{The}\mathrm{general}\mathrm{form}\mathrm{Maclurin}\mathrm{series}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}: \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{n}}\left(0\right)}{\mathrm{n}!}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}} \end{gathered}$$

Step 4. Result

$$\begin{gathered} \mathrm{From}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{and}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{polynomial},\mathrm{a}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{degree}\mathrm{n} \\ \mathrm{is}\mathrm{approximation}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}=0\mathrm{and}\mathrm{this}\mathrm{approximation}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f} \\ \mathrm{improves}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{degree}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{polynomial}\mathrm{increases}.\mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{at} \\ {\mathrm{x}}_0\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{best}\mathrm{approximation}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{fat}\mathrm{x}=0\mathrm{as}\mathrm{compared}\mathrm{to}\mathrm{any}\mathrm{of}\mathrm{the} \\ \mathrm{Maclaurin}\mathrm{polynomial}. \end{gathered}$$