Question

Prove that if the series $\sum _{\mathrm{k}=0}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}$and $\sum _{\mathrm{k}=0}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}$both converge to the same sum for every value of x in some nontrivial interval, then a_k = b_k for every nonnegative integer k.

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=0}^{\infty }\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}-{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\right){\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{zero}\mathrm{function}. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{each}\mathrm{coefficient}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}-{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}=0\mathrm{and}\mathrm{hence},{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}={\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is: 

$$\begin{gathered} \sum _{\mathrm{k}=0}^{\infty }{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}\mathrm{and}\sum _{\mathrm{k}=0}^{\infty }{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}\mathrm{both}\mathrm{converge}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{sum}\mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{x} \\ \mathrm{in}\mathrm{some}\mathrm{nontrivial}\mathrm{interval}. \end{gathered}$$

Step 2. Proving ak = bk

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{two}\mathrm{series}\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{for}\mathrm{some}\mathrm{function}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right). \\ \mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{series}\sum _{\mathrm{k}=0}^{\infty }\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}-{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\right){\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{zero}\mathrm{function}. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{each}\mathrm{coefficient}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}-{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}=0. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{we}\mathrm{can}\mathrm{say}\mathrm{that}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}={\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{k}. \end{gathered}$$