Question

What is a difference between the Maclaurin polynomial of order n and the Taylor polynomial of order n for a function f ?

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{From}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{and}\mathrm{Taylor}\mathrm{series},\mathrm{a}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{polynomial}\mathrm{is}\mathrm{approximation} \\ \mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}=0\mathrm{while}\mathrm{a}\mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{at}{\mathrm{x}}_0\mathrm{is}\mathrm{approximation}\mathrm{to}\mathrm{the} \\ \mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

A function f with the Maclaurin polynomial of order n and the Taylor polynomial of order n

Step 2. Maclaurin polynomial 

$$\begin{gathered} \mathrm{For}\mathrm{any}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{with}\mathrm{derivatives}\mathrm{of}\mathrm{all}\mathrm{orders}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{point}{\mathrm{x}}_0=0, \\ \mathrm{then}\mathrm{the}\mathrm{Maclurin}\mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{degree}\mathrm{n}\mathrm{is}, \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(0\right)+\mathrm{f}\text{'}\left(0\right)\mathrm{x}+\frac{\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(0\right)}{2!}{\mathrm{x}}^2+\frac{\mathrm{f}\text{'}\text{'}\text{'}\left(0\right)}{3!}{\mathrm{x}}^3+....+\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{n}}\left(0\right)}{\mathrm{n}!}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}} \\ \mathrm{The}\mathrm{general}\mathrm{form}\mathrm{Maclurin}\mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{degree}\mathrm{n}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}: \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left(0\right)}{\mathrm{k}!}{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}} \end{gathered}$$

Step 3. Taylor polynomial 

$$\begin{gathered} \mathrm{For}\mathrm{any}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{with}\mathrm{derivative}\mathrm{of}\mathrm{order}\mathrm{n},\mathrm{then}\mathrm{the}\mathrm{Taylor} \\ \mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{degree}\mathrm{n}\mathrm{at}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0\mathrm{is}, \\ {\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0)=\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)+\mathrm{f}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)+\frac{\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{2!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^2+....+\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{n}}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{n}!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^{\mathrm{n}} \\ \mathrm{The}\mathrm{general}\mathrm{form}\mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{degree}\mathrm{n}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}: \\ {\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{k}!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^{\mathrm{k}} \end{gathered}$$

Step 4. Result

$$\begin{gathered} \mathrm{From}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{and}\mathrm{Taylor}\mathrm{series},\mathrm{a}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{polynomial}\mathrm{is}\mathrm{approximation} \\ \mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}=0\mathrm{while}\mathrm{a}\mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{at}{\mathrm{x}}_0\mathrm{is}\mathrm{approximation}\mathrm{to}\mathrm{the} \\ \mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0. \end{gathered}$$