Question

Let f be a twice-differentiable function at a point $x_0$. Explain why the sum

$f\left(x\right)+f\text{'}\left(x\right)(x-x_0)+\frac{f\text{'}\text{'}\left(x\right)}{2!}{(x-x_0)}^2$

is not the second-order Taylor polynomial for f at $x_0$.

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{second}-\mathrm{order}\mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{for}\mathrm{f}\mathrm{at}{\mathrm{x}}_0. \\ \mathrm{This}\mathrm{is}\mathrm{because}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{and}\mathrm{its}\mathrm{derivatives},\mathrm{that}\mathrm{is},\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{and}\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right) \\ \mathrm{are}\mathrm{not}\mathrm{evaluated}\mathrm{at}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

f is a twice-differentiable function at a point $x_0$

Step 2. Solving

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider} \\ \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)+\frac{\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}{2!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^2 \\ \mathrm{The}\mathrm{second}\mathrm{order}\mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{for}\mathrm{f}\mathrm{at}{\mathrm{x}}_0: \\ \mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)+\mathrm{f}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)+\frac{\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{2!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^2 \\ \mathrm{The}\mathrm{second}\mathrm{order}\mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{in}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{g}\mathrm{is}: \\ \mathrm{g}\left({\mathrm{x}}_0\right)=\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)+\mathrm{f}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)+\frac{\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{2!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^2 \\ \mathrm{The}\mathrm{function}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{second}-\mathrm{order}\mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{for}\mathrm{f}\mathrm{at}{\mathrm{x}}_0. \\ \mathrm{This}\mathrm{is}\mathrm{because}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{and}\mathrm{its}\mathrm{derivatives},\mathrm{that}\mathrm{is},\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{and}\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right) \\ \mathrm{are}\mathrm{not}\mathrm{evaluated}\mathrm{at}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0. \end{gathered}$$