Question

What is a Taylor polynomial for a function f at a point $x_0$?

Short answer

${\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{k}!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^{\mathrm{k}}$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

$\mathrm{We}\mathrm{have}\mathrm{a}\mathrm{function}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$

Step 2. Finding Taylor Polynomial

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{function}\mathrm{with}\mathrm{a}\mathrm{derivative}\mathrm{of}\mathrm{order}\mathrm{n}, \\ \mathrm{then}\mathrm{the}\mathrm{taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{at}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0\mathrm{is}, \\ {\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)+\mathrm{f}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)+\frac{\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{2!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^2+....+\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{n}}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{n}!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^{\mathrm{n}} \\ \mathrm{The}\mathrm{general}\mathrm{form}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{Taylor}\mathrm{polynomial}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{compact}\mathrm{form}\mathrm{is}: \\ {\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{k}!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^{\mathrm{k}} \end{gathered}$$