Question

What is the relationship between a Maclaurin series and a power series in x?

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{power}\mathrm{series}\mathrm{in}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{same}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{in}\mathrm{x}\mathrm{if}{\mathrm{x}}_0=0 \\ \mathrm{is}\mathrm{considered},\mathrm{that}\mathrm{is},{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}=\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left(0\right)}{\mathrm{k}!}.\mathrm{The}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{in}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{nothing}\mathrm{but}\mathrm{a} \\ \mathrm{special}\mathrm{case}\mathrm{of}\mathrm{power}\mathrm{series},\mathrm{that}\mathrm{is},\mathrm{a}\mathrm{power}\mathrm{series}\mathrm{calculated}\mathrm{about}\mathrm{origin}\mathrm{is} \\ \mathrm{the}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

A Maclaurin series and a power series in x

Step 2. Maclaurin series and Power series

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{power}\mathrm{series}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{around}\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0\mathrm{is}: \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\infty }\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{k}!}{(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0)}^{\mathrm{k}} \\ \mathrm{The}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{around}\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{x}=0\mathrm{is}: \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\infty }\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left(0\right)}{\mathrm{k}!}{\left(\mathrm{x}\right)}^{\mathrm{k}} \end{gathered}$$

Step 3. Result

$$\begin{gathered} \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{power}\mathrm{series}\mathrm{in}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{same}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{in}\mathrm{x}\mathrm{if}{\mathrm{x}}_0=0 \\ \mathrm{is}\mathrm{considered},\mathrm{that}\mathrm{is},{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}=\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left(0\right)}{\mathrm{k}!}.\mathrm{The}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{in}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{nothing}\mathrm{but}\mathrm{a} \\ \mathrm{special}\mathrm{case}\mathrm{of}\mathrm{power}\mathrm{series},\mathrm{that}\mathrm{is},\mathrm{a}\mathrm{power}\mathrm{series}\mathrm{calculated}\mathrm{about}\mathrm{origin}\mathrm{is} \\ \mathrm{the}\mathrm{Maclaurin}\mathrm{series}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}. \end{gathered}$$