Question

$\mathrm{How}\mathrm{many}\mathrm{summands}\mathrm{are}\mathrm{in}\sum _{\mathrm{i}=2}^{15}\sum _{\mathrm{j}=3}^{17}\sum _{\mathrm{k}=4}^{19}\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+\mathrm{k}}?$

Short answer

$\mathrm{Total}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{summands}\mathrm{in}\sum _{\mathrm{i}=2}^{15}\sum _{\mathrm{j}=3}^{17}\sum _{\mathrm{k}=4}^{19}\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+\mathrm{k}}\mathrm{are}\boxed{3360}.$

Step-by-step solution

Step 1. Given Information 

$\sum _{i=2}^{15}\sum _{\mathrm{j}=3}^{17}\sum _{\mathrm{k}=4}^{19}\frac{i}{j+k}$

Step 2. Finding summands

$$\begin{gathered} \sum _{\mathrm{i}=2}^{15}\sum _{\mathrm{j}=3}^{17}\sum _{\mathrm{k}=4}^{19}\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+\mathrm{k}}=\sum _{\mathrm{i}=2}^{15}\sum _{\mathrm{j}=3}^{17}\left(\sum _{\mathrm{k}=4}^{19}\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+\mathrm{k}}\right) \\ \mathrm{The}\mathrm{summation}\sum _{\mathrm{k}=4}^{19}\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+\mathrm{k}}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{expanded}\mathrm{by}\mathrm{replacing}\mathrm{k}\mathrm{with}4\mathrm{and}\mathrm{rewriting}\mathrm{each}\mathrm{term}\mathrm{when}\mathrm{k}\mathrm{ends}\mathrm{at}19. \\ \sum _{\mathrm{k}=4}^{19}\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+\mathrm{k}}=\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+4}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+5}+.....+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+19} \\ \mathrm{The}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{terms}\mathrm{in}\mathrm{above}\mathrm{summation}\mathrm{are}19-4+1=16. \\ \sum _{\mathrm{i}=2}^{15}\sum _{\mathrm{j}=3}^{17}\sum _{\mathrm{k}=4}^{19}\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+\mathrm{k}}=\sum _{\mathrm{i}=2}^{15}\sum _{\mathrm{j}=3}^{17}\left(\sum _{\mathrm{k}=4}^{19}\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+\mathrm{k}}\right) \\ =\sum _{\mathrm{i}=2}^{15}\sum _{\mathrm{j}=3}^{17}\left(\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+4}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+5}+.....+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+19}\right) \\ =\sum _{\mathrm{i}=2}^{15}\left(\sum _{\mathrm{j}=3}^{17}\left(\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+4}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+5}+.....+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+19}\right)\right) \\ \mathrm{Similarly}\mathrm{when}\mathrm{expanded}\sum _{\mathrm{j}=3}^{17}\left(\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+4}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+5}+.....+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+19}\right)\mathrm{by}\mathrm{replacing}\mathrm{j}\mathrm{from}3\mathrm{to}17, \\ \mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{of}\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+4}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+5}+.....+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+19}\mathrm{terms}\mathrm{obtained}\mathrm{are}17-3+1=15. \\ \mathrm{Similarly}\mathrm{when}\mathrm{expanded}\mathrm{the}\mathrm{last}\mathrm{summation}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{i}\mathrm{from}2\mathrm{to}15, \\ \mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{terms}\mathrm{obtained}\mathrm{are}15-2+1=14. \\ \mathrm{Hence}\mathrm{total}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{summands}\mathrm{are}16\times 15\times 14=3360 \\ \mathrm{Total}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{summands}\mathrm{in}\sum _{\mathrm{i}=2}^{15}\sum _{\mathrm{j}=3}^{17}\sum _{\mathrm{k}=4}^{19}\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}+\mathrm{k}}\mathrm{are}\boxed{3360}. \end{gathered}$$