Question

$\mathrm{How}\mathrm{many}\mathrm{summands}\mathrm{are}\mathrm{in}\sum _{\mathrm{j}={\mathrm{j}}_0}^{\mathrm{m}}\sum _{\mathrm{k}={\mathrm{k}}_0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}?$

Short answer

$\mathrm{Total}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{summands}\mathrm{in}\sum _{\mathrm{j}={\mathrm{j}}_0}^{\mathrm{m}}\sum _{\mathrm{k}={\mathrm{k}}_0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\mathrm{are}\boxed{({\mathrm{k}}_0-\mathrm{n}+1)\times ({\mathrm{j}}_0-\mathrm{m}+1)}$

Step-by-step solution

Step 1. Given Information

$\sum _{\mathrm{j}={\mathrm{j}}_0}^{\mathrm{m}}\sum _{\mathrm{k}={\mathrm{k}}_0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}$

Step 2. Finding summands

$$\begin{gathered} \sum _{\mathrm{j}={\mathrm{j}}_0}^{\mathrm{m}}\sum _{\mathrm{k}={\mathrm{k}}_0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}=\sum _{\mathrm{j}={\mathrm{j}}_0}^{\mathrm{m}}\left(\sum _{\mathrm{k}={\mathrm{k}}_0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\right) \\ \mathrm{The}\mathrm{summation}\sum _{\mathrm{k}=5}^{20}\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{jk}}}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{expanded}\mathrm{by}\mathrm{replacing}\mathrm{k}\mathrm{with}{\mathrm{k}}_0\mathrm{and}\mathrm{rewriting}\mathrm{each}\mathrm{term}\mathrm{when}\mathrm{k}\mathrm{ends}\mathrm{at}\mathrm{n}. \\ \mathrm{The}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{terms}\mathrm{in}\mathrm{above}\mathrm{summation}\mathrm{are}{\mathrm{k}}_0-\mathrm{n}+1. \\ \mathrm{Similarly}\mathrm{when}\mathrm{expanded}\sum _{\mathrm{j}={\mathrm{j}}_0}^{\mathrm{m}}\left(\sum _{\mathrm{k}={\mathrm{k}}_0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\right)\mathrm{by}\mathrm{replacing}\mathrm{j}\mathrm{from}{\mathrm{j}}_0\mathrm{to}\mathrm{m},\mathrm{the} \\ \mathrm{number}\mathrm{of}\sum _{\mathrm{k}={\mathrm{k}}_0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\mathrm{terms}\mathrm{obtained}\mathrm{are}{\mathrm{j}}_0-\mathrm{m}+1 \\ \mathrm{Hence}\mathrm{total}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{summands}\mathrm{are}=({\mathrm{k}}_0-\mathrm{n}+1)\times ({\mathrm{j}}_0-\mathrm{m}+1) \\ \mathrm{Total}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{summands}\mathrm{in}\sum _{\mathrm{j}={\mathrm{j}}_0}^{\mathrm{m}}\sum _{\mathrm{k}={\mathrm{k}}_0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\mathrm{are}\boxed{({\mathrm{k}}_0-\mathrm{n}+1)\times ({\mathrm{j}}_0-\mathrm{m}+1)} \end{gathered}$$