Question

$\mathrm{How}\mathrm{many}\mathrm{summands}\mathrm{are}\mathrm{in}\sum _{\mathrm{j}=3}^{13}\sum _{\mathrm{k}=5}^{20}\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{jk}}}?$

Short answer

$\mathrm{Total}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{summands}\mathrm{in}\sum _{\mathrm{j}=3}^{13}\sum _{\mathrm{k}=5}^{20}\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{jk}}}\mathrm{are}\boxed{176}$

Step-by-step solution

Step 1. Given Information

$\sum _{\mathrm{j}=3}^{13}\sum _{\mathrm{k}=5}^{20}\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{jk}}}$

Step 2. Finding number of summands

$$\begin{gathered} \sum _{\mathrm{j}=3}^{13}\sum _{\mathrm{k}=5}^{20}\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{jk}}}=\sum _{\mathrm{j}=3}^{13}\left(\sum _{\mathrm{k}=5}^{20}\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{jk}}}\right) \\ \mathrm{The}\mathrm{summation}\sum _{\mathrm{k}=5}^{20}\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{jk}}}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{expanded}\mathrm{by}\mathrm{replacing}\mathrm{k}\mathrm{with}5\mathrm{and}\mathrm{rewriting}\mathrm{each}\mathrm{term}\mathrm{when}\mathrm{k}\mathrm{ends}\mathrm{at}20. \\ \sum _{\mathrm{k}=5}^{20}\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{jk}}}=\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}5}}+\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}6}}+\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}7}}+...+\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}20}} \\ \mathrm{The}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{terms}\mathrm{in}\mathrm{above}\mathrm{summation}\mathrm{are}20-5+1=16. \\ \sum _{\mathrm{j}=3}^{13}\sum _{\mathrm{k}=5}^{20}\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{jk}}}=\sum _{\mathrm{j}=3}^{13}\left(\sum _{\mathrm{k}=5}^{20}\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{jk}}}\right) \\ =\sum _{\mathrm{j}=3}^{13}\left(\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}5}}+\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}6}}+\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}7}}+...+\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}20}}\right) \\ \mathrm{Similarly}\mathrm{when}\mathrm{expanded}\sum _{\mathrm{j}=3}^{13}\left(\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}5}}+\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}6}}+\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}7}}+...+\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}20}}\right)\mathrm{by}\mathrm{replacing}\mathrm{j}\mathrm{from}3\mathrm{to}13,\mathrm{the} \\ \mathrm{number}\mathrm{of}\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}5}}+\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}6}}+\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}7}}+...+\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}20}}\mathrm{terms}\mathrm{obtained}\mathrm{are}13-3+1=11 \\ \mathrm{Hence}\mathrm{total}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{summands}\mathrm{are}=16\times 11=176 \\ \mathrm{Total}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{summands}\mathrm{in}\sum _{\mathrm{j}=3}^{13}\sum _{\mathrm{k}=5}^{20}\frac{{\mathrm{j}}^2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{jk}}}\mathrm{are}\boxed{176} \end{gathered}$$