Question

Suppose g(x), h(x), and j(x) are differentiable functions with

values of the function and its derivative given in the following table:

$iff\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)h\left(x\right)+j\left(x\right)}{h\left(x\right)}findf\text{'}(-1)$

Short answer

The value of$f\text{'}(-1)$is$-1+\frac{2}{0},\mathrm{here}\frac{2}{0}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{defined}$

Step-by-step solution

Step1. Given information 

Values of the function and its derivative given.

We have to find out the values of $f\text{'}(-1)$

Step 2. Finding the derivatives of the given function

Here$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{j}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)}, \\ =\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{j}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)} \\ \mathrm{When}\mathrm{we}\mathrm{do}\mathrm{differentiation},\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)+{\left(\frac{\mathrm{j}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)}\right)}^{\text{'}} \\ \mathrm{By}\mathrm{applying}\mathrm{the}\mathrm{quotient}\mathrm{rule},\mathrm{we}\mathrm{get}{\left(\frac{\mathrm{j}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)}\right)}^{\text{'}}=\frac{\mathrm{j}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{j}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{h}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}{(\mathrm{h}{\left(\mathrm{x}\right))}^2}\mathrm{since}\mathrm{the}\mathrm{quotient}\mathrm{rule}:{\left(\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}}\right)}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{'}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\text{'}}{(\mathrm{g}{\left(\mathrm{x}\right))}^2} \\ \mathrm{then}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{j}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{j}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{h}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}{(\mathrm{h}{\left(\mathrm{x}\right))}^2} \end{gathered}$$

Step 3. Finding the value of f'(-1)

$$\begin{gathered} \mathrm{Since}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{j}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{j}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{h}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}{(\mathrm{h}{\left(\mathrm{x}\right))}^2} \\ \mathrm{then}\mathrm{f}\text{'}(-1)=\mathrm{g}\text{'}(-1)+\frac{\mathrm{j}\text{'}(-1)\mathrm{h}(-1)-\mathrm{j}(-1)\mathrm{h}\text{'}(-1)}{(\mathrm{h}{(-1))}^2} \\ \mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{table}\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{values},\mathrm{g}\text{'}(-1)=-1,\mathrm{j}\text{'}(-1)=-2,\mathrm{h}\text{'}(-1)=-2,\mathrm{j}(-1)=1,\mathrm{h}(-1)=0 \\ \mathrm{substitute}\mathrm{these}\mathrm{values}\mathrm{on}\mathrm{f}\text{'}(-1).\mathrm{then}\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \mathrm{f}\text{'}(-1)=\mathrm{g}\text{'}(-1)+\frac{\mathrm{j}\text{'}(-1)\mathrm{h}(-1)-\mathrm{j}(-1)\mathrm{h}\text{'}(-1)}{(\mathrm{h}{(-1))}^2} \\ =-1+\frac{-2\times 0-1\times -2}{0^2} \\ =-1+\frac{2}{0},\mathrm{here}\frac{2}{0}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{defined} \end{gathered}$$