Question

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{circle}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{written}\mathrm{in}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{its}\mathrm{radius}\mathrm{as}\mathrm{A}={\mathrm{\pi r}}^2,\mathrm{where}\mathrm{both}\mathrm{A}\mathrm{and}\mathrm{r}\mathrm{are}\mathrm{functions}\mathrm{of}\mathrm{time}. \\ \mathrm{Suppose}\mathrm{a}\mathrm{circular}\mathrm{area}\mathrm{from}\mathrm{a}\mathrm{spotlight}\mathrm{on}\mathrm{a}\mathrm{stage}\mathrm{floor}\mathrm{is}\mathrm{slowly}\mathrm{expanding}. \\ \left(\mathrm{a}\right)\mathrm{Find}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}\mathrm{and}\mathrm{explain}\mathrm{its}\mathrm{meaning}\mathrm{in}\mathrm{practical}\mathrm{terms}. \\ \left(\mathrm{b}\right)\mathrm{Does}\mathrm{the}\mathrm{rate}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}\mathrm{depend}\mathrm{on}\mathrm{how}\mathrm{fast}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{circle}\mathrm{is}\mathrm{increasing}? \\ \mathrm{Does}\mathrm{it}\mathrm{depend}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{circle}?\mathrm{Why}\mathrm{or}\mathrm{why}\mathrm{not}? \\ \left(\mathrm{c}\right)\mathrm{Find}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}\mathrm{and}\mathrm{explain}\mathrm{its}\mathrm{meaning}\mathrm{in}\mathrm{practical}\mathrm{terms}. \\ \left(\mathrm{d}\right)\mathrm{Does}\mathrm{the}\mathrm{rate}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}\mathrm{depend}\mathrm{on}\mathrm{how}\mathrm{fast}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{circle}\mathrm{is}\mathrm{increasing}?\mathrm{Does}\mathrm{it}\mathrm{depend}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{circle}? \\ \left(\mathrm{e}\right)\mathrm{If}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{circle}\mathrm{of}\mathrm{light}\mathrm{is}\mathrm{increasing}\mathrm{at}\mathrm{a}\mathrm{constant}\mathrm{rate}\mathrm{of}2\mathrm{inches}\mathrm{per}\mathrm{second}, \\ \mathrm{how}\mathrm{fast}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{circle}\mathrm{of}\mathrm{light}\mathrm{increasing}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{moment}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{spotlight}\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{radius}\mathrm{of}24\mathrm{inches}? \end{gathered}$$

Short answer

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{a}\right).\mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{of}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}=2\mathrm{\pi r} \\ \left(\mathrm{b}\right).\mathrm{The}\mathrm{rate}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}\mathrm{does}\mathrm{not}\mathrm{depends}\mathrm{on}\mathrm{how}\mathrm{fast}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{circle}\mathrm{is}\mathrm{increasing}\mathrm{because}\mathrm{rate}\mathrm{of}\mathrm{change}\mathrm{of} \\ \mathrm{derivative}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{area}\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{rate}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}\mathrm{depends}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{circle}\mathrm{because}\mathrm{the}\mathrm{value} \\ \mathrm{will}\mathrm{increase}\mathrm{or}\mathrm{decrease}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{changes}. \\ \left(\mathrm{c}\right).\mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{of}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}=2\mathrm{\pi r}\frac{d\mathrm{r}}{d\mathrm{t}} \\ \left(\mathrm{d}\right).\mathrm{The}\mathrm{rate}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}\mathrm{depends}\mathrm{on}\mathrm{how}\mathrm{fast}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{circle}\mathrm{is}\mathrm{increasing}\mathrm{because}\mathrm{rate}\mathrm{of}\mathrm{change}\mathrm{of} \\ \mathrm{derivative}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{area}\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{rate}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}\mathrm{depends}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{circle}. \\ \left(\mathrm{e}\right).\mathrm{The}\mathrm{rate}\mathrm{of}\mathrm{change}\mathrm{of}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{circle}\mathrm{of}\mathrm{light}=96\mathrm{\pi }. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given Information 

$\mathrm{A}={\mathrm{\pi r}}^2$

Step 2. Solution (a) : value of dAdr

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{equation}:\mathrm{A}={\mathrm{\pi r}}^2 \\ \mathrm{Differentiate}\mathrm{above}\mathrm{equation} \\ \frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}=\frac{d}{d\mathrm{r}}\left({\mathrm{\pi r}}^2\right)=\mathrm{\pi }\frac{d}{\mathrm{dr}}\left({\mathrm{r}}^2\right)=2\mathrm{\pi r}\mathrm{inch} \\ \mathrm{The}\mathrm{practical}\mathrm{meaning}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{rate}\mathrm{of}\mathrm{change}\mathrm{of}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{circle}\mathrm{with}\mathrm{radius}. \end{gathered}$$

Step 3. Solution (b) : How value of dAdr related to increase in radius of circle.

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{rate}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}\mathrm{does}\mathrm{not}\mathrm{depends}\mathrm{on}\mathrm{how}\mathrm{fast}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{circle}\mathrm{is}\mathrm{increasing}\mathrm{because}\mathrm{rate}\mathrm{of}\mathrm{change}\mathrm{of} \\ \mathrm{derivative}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{area}\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{rate}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}\mathrm{depends}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{circle}\mathrm{because}\mathrm{the}\mathrm{value} \\ \mathrm{will}\mathrm{increase}\mathrm{or}\mathrm{decrease}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{changes}. \end{gathered}$$

Step 4. Solution (c) : Value of dAdt

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{equation}:\mathrm{A}={\mathrm{\pi r}}^2 \\ \mathrm{Differentiate}\mathrm{above}\mathrm{equation}: \\ \frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}=\frac{d}{d\mathrm{t}}\left({\mathrm{\pi r}}^2\right)=\mathrm{\pi }\frac{d}{d\mathrm{t}}\left({\mathrm{r}}^2\right)=2\mathrm{\pi r}\frac{d\mathrm{r}}{d\mathrm{t}}\mathrm{inch}\mathrm{per}\mathrm{seconds} \end{gathered}$$

Step 5. solution (d) : How value of dAdtdepends on increase in radius

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{rate}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}\mathrm{depends}\mathrm{on}\mathrm{how}\mathrm{fast}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{circle}\mathrm{is}\mathrm{increasing}\mathrm{because}\mathrm{rate}\mathrm{of}\mathrm{change}\mathrm{of} \\ \mathrm{derivative}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{area}\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{rate}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}\mathrm{depends}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{circle}. \end{gathered}$$

Step 6. Solution (e) : The rate of change of area of circle of light.

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{equation}:\mathrm{A}={\mathrm{\pi r}}^2 \\ \mathrm{Differentiate}\mathrm{above}\mathrm{equation} \\ \frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}=\frac{d}{d\mathrm{t}}\left({\mathrm{\pi r}}^2\right)=\mathrm{\pi }\frac{d}{d\mathrm{t}}\left({\mathrm{r}}^2\right)=2\mathrm{\pi r}\frac{d\mathrm{r}}{d\mathrm{t}}\mathrm{inch}\mathrm{per}\mathrm{seconds} \\ \mathrm{Substitute}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{in}\mathrm{above}\mathrm{equation} \\ {\overline{)\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}}}_{\mathrm{r}=24}=2\mathrm{\pi }\left(24\right)\left(2\right)=96\mathrm{\pi } \end{gathered}$$