Question

$$\begin{gathered} \mathrm{If}\mathrm{you}\mathrm{drop}\mathrm{a}\mathrm{pebble}\mathrm{into}\mathrm{a}\mathrm{large}\mathrm{lake},\mathrm{you}\mathrm{will}\mathrm{cause}\mathrm{a}\mathrm{circle}\mathrm{of}\mathrm{ripples}\mathrm{to}\mathrm{expand}\mathrm{outward}. \\ \mathrm{The}\mathrm{area}\mathrm{A}=\mathrm{A}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{and}\mathrm{radius}\mathrm{r}=\mathrm{r}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{are}\mathrm{clearly}\mathrm{functions}\mathrm{of}\mathrm{t}(\mathrm{they}\mathrm{change}\mathrm{over}\mathrm{time}) \\ \mathrm{and}\mathrm{are}\mathrm{related}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{formula}\mathrm{A}={\mathrm{\pi r}}^2. \\ \left(\mathrm{a}\right)\mathrm{If}\mathrm{r}\mathrm{is}\mathrm{measured}\mathrm{in}\mathrm{inches}\mathrm{and}\mathrm{t}\mathrm{is}\mathrm{measured}\mathrm{in}\mathrm{seconds},\mathrm{what}\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{units}\mathrm{of}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}? \\ \mathrm{What}\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{units}\mathrm{of}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}? \\ \left(\mathrm{b}\right)\mathrm{Find}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}\mathrm{and}\mathrm{explain}\mathrm{the}\mathrm{practical}\mathrm{meaning}\mathrm{of}{\overline{)\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}}}_{\mathrm{r}=2}. \\ \left(\mathrm{c}\right)\mathrm{Find}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}\mathrm{and}\mathrm{explain}\mathrm{the}\mathrm{practical}\mathrm{meaning}\mathrm{of}{\overline{)\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}}}_{\mathrm{r}=2}. \end{gathered}$$

Short answer

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{a}\right).\mathrm{Unit}\mathrm{of}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}=\mathrm{inche}\mathrm{per}\mathrm{seconds},\mathrm{unit}\mathrm{of}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}=\mathrm{inch}. \\ \left(\mathrm{b}\right).\mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{of}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}=2\mathrm{\pi r}. \\ \left(\mathrm{c}\right).\mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{of}\frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}=2\mathrm{\pi r}\frac{d\mathrm{r}}{d\mathrm{t}} \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given Information 

$\mathrm{A}={\mathrm{\pi r}}^2$

Step 2. Solution (a) :  The units of dAdt and dAdr

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{equation}:\mathrm{A}={\mathrm{\pi r}}^2 \\ \mathrm{Differentiate}\mathrm{above}\mathrm{equation}: \\ \frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}=\frac{d}{d\mathrm{t}}\left({\mathrm{\pi r}}^2\right)=\mathrm{\pi }\frac{d}{d\mathrm{t}}\left({\mathrm{r}}^2\right)=2\mathrm{\pi r}\frac{d\mathrm{r}}{d\mathrm{t}}\mathrm{inch}\mathrm{per}\mathrm{seconds}....\left(1\right) \\ \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{equation}:\mathrm{A}={\mathrm{\pi r}}^2 \\ \mathrm{Differentiate}\mathrm{above}\mathrm{equation} \\ \frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}=\frac{d}{d\mathrm{r}}\left({\mathrm{\pi r}}^2\right)=\mathrm{\pi }\frac{d}{\mathrm{dr}}\left({\mathrm{r}}^2\right)=2\mathrm{\pi r}\mathrm{inch}......\left(2\right) \end{gathered}$$

Step 3. Solution (b) : value of dAdr.

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{equation}:\mathrm{A}={\mathrm{\pi r}}^2 \\ \mathrm{Differentiate}\mathrm{above}\mathrm{equation} \\ \frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{r}}=\frac{d}{d\mathrm{r}}\left({\mathrm{\pi r}}^2\right)=\mathrm{\pi }\frac{d}{\mathrm{dr}}\left({\mathrm{r}}^2\right)=2\mathrm{\pi r}\mathrm{inch} \\ \mathrm{The}\mathrm{practical}\mathrm{meaning}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{rate}\mathrm{of}\mathrm{change}\mathrm{of}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{circle}\mathrm{with}\mathrm{radius}2. \end{gathered}$$

Step 4. Solution (c) : value of dAdt

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{equation}:\mathrm{A}={\mathrm{\pi r}}^2 \\ \mathrm{Differentiate}\mathrm{above}\mathrm{equation}: \\ \frac{d\mathrm{A}}{d\mathrm{t}}=\frac{d}{d\mathrm{t}}\left({\mathrm{\pi r}}^2\right)=\mathrm{\pi }\frac{d}{d\mathrm{t}}\left({\mathrm{r}}^2\right)=2\mathrm{\pi r}\frac{d\mathrm{r}}{d\mathrm{t}}\mathrm{inch}\mathrm{per}\mathrm{seconds} \\ \mathrm{The}\mathrm{practical}\mathrm{meaning}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{rate}\mathrm{of}\mathrm{change}\mathrm{of}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{circle}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{time}\mathrm{radius}2. \end{gathered}$$