Question

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{solutions}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{equation}{\mathrm{y}}^3-3\mathrm{y}-\mathrm{x}=1. \\ \left(\mathrm{a}\right)\mathrm{Find}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{with}\mathrm{an}\mathrm{x}-\mathrm{coordinate}\mathrm{of}\mathrm{x}=-1, \\ \mathrm{and}\mathrm{then}\mathrm{find}\mathrm{the}\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{tangent}\mathrm{line}\mathrm{at}\mathrm{each}\mathrm{of}\mathrm{these}\mathrm{points}. \\ \left(\mathrm{b}\right)\mathrm{Find}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{with}\mathrm{a}\mathrm{y}-\mathrm{coordinate}\mathrm{of}\mathrm{y}=2, \\ \mathrm{and}\mathrm{then}\mathrm{find}\mathrm{the}\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{tangent}\mathrm{line}\mathrm{at}\mathrm{each}\mathrm{of}\mathrm{these}\mathrm{points}. \\ \left(\mathrm{c}\right)\mathrm{Find}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{where}\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{horizontal}\mathrm{tangent}\mathrm{line}. \\ \left(\mathrm{d}\right)\mathrm{Find}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{where}\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{vertical}\mathrm{tangent}\mathrm{line}. \end{gathered}$$

Short answer

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{a}\right).\mathrm{The}\mathrm{points}\mathrm{are}:(-1,0),(-1,\sqrt{3}),(-1,-\sqrt{3}). \\ \left(\mathrm{b}\right).\mathrm{The}\mathrm{point}\mathrm{is}(1,2). \\ \left(\mathrm{c}\right).\mathrm{The}\mathrm{points}\mathrm{are}:(0,1),(0,2),(0,-2). \\ \left(\mathrm{d}\right).\mathrm{The}\mathrm{point}\mathrm{is}:(-1,0). \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given Information 

$\mathrm{Equation}:{\mathrm{y}}^3-3\mathrm{y}-\mathrm{x}=1$

Step 2. Solution (a) : The points on the graph with x coordinate of x = -1.

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{equation}:{\mathrm{y}}^3-3\mathrm{y}-\mathrm{x}=1 \\ \mathrm{Differentiate}\mathrm{above}\mathrm{equation}: \\ 3{\mathrm{y}}^2\frac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{x}}-3\frac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{x}}-1=0 \\ \frac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{x}}=\frac{1}{3{\mathrm{y}}^2-3}. \\ \mathrm{Substitute}\mathrm{x}=-1\mathrm{in}\mathrm{above}\mathrm{equation} \\ {\mathrm{y}}^3-3\mathrm{y}-(-1)=1 \\ \mathrm{y}=0,\pm \sqrt{3} \\ \mathrm{Thus}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{are}:(-1,0),(-1,\sqrt{3}),(-1,-\sqrt{3}) \\ \mathrm{The}\mathrm{slope}\mathrm{is}, \\ {\overline{)\frac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{x}}}}_{\mathrm{x}=-1,\mathrm{y}=0}=\frac{1}{3{\left(0\right)}^2-3}=-\frac{1}{3} \\ \mathrm{The}\mathrm{slope}\mathrm{is}, \\ {\overline{)\frac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{x}}}}_{\mathrm{x}=-1,\mathrm{y}=\sqrt{3}}=\frac{1}{3{\left(\sqrt{3}\right)}^2-3}=\frac{1}{6} \\ \mathrm{The}\mathrm{slope}\mathrm{is}, \\ {\overline{)\frac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{x}}}}_{\mathrm{x}=-1,\mathrm{y}=-\sqrt{3}}=\frac{1}{3{(-\sqrt{3})}^2-3}=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

Step 3. Solution (b) : The points on the graph with y-coordinate of y =2.

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{equation}:{\mathrm{y}}^3-3\mathrm{y}-\mathrm{x}=1 \\ \mathrm{Differentiate}\mathrm{above}\mathrm{equation}: \\ 3{\mathrm{y}}^2\frac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{x}}-3\frac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{x}}-1=0 \\ \frac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{x}}=\frac{1}{3{\mathrm{y}}^2-3}. \\ \mathrm{Substitute}\mathrm{y}=2\mathrm{in}\mathrm{above}\mathrm{equation} \\ {\left(2\right)}^3-3\left(2\right)-\mathrm{x}=1 \\ \mathrm{x}=1 \\ \mathrm{Thus}\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{is}(1,2) \\ \mathrm{Thus}\mathrm{slope}\mathrm{is}, \\ {\overline{)\frac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{x}}}}_{\mathrm{x}=1,\mathrm{y}=2}=\frac{1}{3{\left(2\right)}^2-3}=\frac{1}{9} \end{gathered}$$

Step 4. Solution (c) : The points where the tanget line is horizontal.

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{equation}:{\mathrm{y}}^3-3\mathrm{y}-\mathrm{x}=1 \\ \mathrm{Substitute}\mathrm{x}=0\mathrm{in}\mathrm{above}\mathrm{equation} \\ {\mathrm{y}}^3-3\mathrm{y}-\left(0\right)=1 \\ \mathrm{y}=1,\pm 2 \\ \mathrm{Thus}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{are}:(0,1),(0,2),(0,-2). \end{gathered}$$

Step 5. Solution (d) : The points where tangent line is vertical

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{equation}:{\mathrm{y}}^3-3\mathrm{y}-\mathrm{x}=1 \\ \mathrm{Substitute}\mathrm{y}=0\mathrm{in}\mathrm{above}\mathrm{equation} \\ {\left(0\right)}^3-3\left(0\right)-\mathrm{x}=1 \\ \mathrm{x}=-1 \\ \mathrm{Thus}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{are}:(-1,0) \end{gathered}$$