Question

Prove $$\begin{gathered} \int \sin xdx=-\cos xdx+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \left(b\right)\int \cos xdx=\sin xdx+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \left(c\right)\int se{c}^{2}xdx=\tan xdx+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \left(\mathrm{d}\right)\int {\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}\mathrm{dx}=-\mathrm{cotx}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \left(\mathrm{e}\right)\int {\sec }^{}\mathrm{xtan}\mathrm{x}\mathrm{dx}=\sec \mathrm{x}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \left(\mathrm{f}\right)\int \mathrm{cosec}\mathrm{xcotx}\mathrm{dx}=-\mathrm{cosec}\mathrm{x}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \end{gathered}$$

Short answer

Hence proved

Step-by-step solution

Step 1. To prove

$$\begin{gathered} \left(a\right)\int \sin xdx=-\cos xdx+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \left(b\right)\int \cos xdx=\sin xdx+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \left(c\right)\int se{c}^{2}xdx=\tan xdx+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \left(\mathrm{d}\right)\int {\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}\mathrm{dx}=-\mathrm{cotx}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \left(\mathrm{e}\right)\int {\sec }^{}\mathrm{xtan}\mathrm{x}\mathrm{dx}=\sec \mathrm{x}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \left(\mathrm{f}\right)\int \mathrm{cosec}\mathrm{xcotx}\mathrm{dx}=-\mathrm{cosec}\mathrm{x}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \end{gathered}$$

Part(a) Step 2. Proving part a

$$\begin{gathered} \left(a\right)\int \sin xdx=-\cos xdx+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \frac{d}{dx}\left(-\cos x\right)=\sin x \\ so-\cos x\mathrm{is}\mathrm{antiderivative}\mathrm{of}\sin \mathrm{x} \\ \mathrm{hence}\mathrm{proved}\int \sin \mathrm{x}\mathrm{dx}=-\cos \mathrm{x}\mathrm{dx}+\mathrm{C} \end{gathered}$$

Part (b) Step 3. Proving

$$\begin{gathered} \left(b\right)\int \cos xdx=\sin xdx+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \frac{d}{dx}\left(\sin x\right)=\cos x \\ so-\cos x\mathrm{is}\mathrm{antiderivative}\mathrm{of}\cos \mathrm{x} \\ \mathrm{hence}\mathrm{proved}\int \cos x\mathrm{dx}=\sin \mathrm{x}\mathrm{dx}+\mathrm{C} \end{gathered}$$

Part (c) Step 4. Proving 

$$\begin{gathered} \left(c\right)\int se{c}^{2}xdx=\tan xdx+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \frac{d}{dx}\left(se{c}^{2}x\right)=\tan x \\ so\left(se{c}^{2}x\right)\mathrm{is}\mathrm{antiderivative}\mathrm{of}\tan x \\ \mathrm{hence}\mathrm{proved}\int se{c}^{2}xdx=\tan xdx+\mathrm{C} \end{gathered}$$

Part (d) Step 5. Proving

$$\begin{gathered} \left(d\right)\int cose{c}^{2}xdx=-cotxdx+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \frac{d}{dx}\left(cose{c}^{2}x\right)=cotx \\ so\left(cose{c}^{2}x\right)\mathrm{is}\mathrm{antiderivative}\mathrm{of}cotx \\ \mathrm{hence}\mathrm{proved}\int {\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}\mathrm{dx}=-\cot \mathrm{x}\mathrm{dx}+\mathrm{C} \end{gathered}$$

Part(e) Step 6. Proving

$$\begin{gathered} \left(e\right)\int secx\tan xdx=secxdx+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \frac{d}{dx}\left(secx\tan x\right)=secx \\ so\left(secx\tan x\right)\mathrm{is}\mathrm{antiderivative}\mathrm{of}secx \\ \mathrm{hence}\mathrm{proved}\int {\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}\mathrm{dx}=-\cot \mathrm{x}\mathrm{dx}+\mathrm{C} \end{gathered}$$

Part (f)Step 7. Proving

$$\begin{gathered} \left(f\right)\int \cos ecxcotxdx=-cotxdx+\mathrm{C}\mathrm{using}\mathrm{differentiation}\mathrm{formulas} \\ \frac{d}{dx}\cos ecxcotx=-cotx \\ so\cos ecxcotx\mathrm{is}\mathrm{antiderivative}\mathrm{of}-cotx \\ \mathrm{hence}\mathrm{proved}\int \mathrm{cosec}\mathrm{x}\cot \mathrm{xdx}=-\cot \mathrm{xdx}+\mathrm{C} \end{gathered}$$