Question

$$\begin{gathered} \mathrm{Suppose}\mathrm{you}\mathrm{drive}\mathrm{on}\mathrm{a}\mathrm{racetrack}\mathrm{for}10\mathrm{minutes}\mathrm{with}\mathrm{velocity}\mathrm{as}\mathrm{shown}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{right}. \\ \left(\mathrm{a}\right)\mathrm{Describe}\mathrm{in}\mathrm{words}\mathrm{the}\mathrm{behavior}\mathrm{of}\mathrm{your}\mathrm{race}\mathrm{car}\mathrm{over}\mathrm{the}10\mathrm{minutes}\mathrm{as}\mathrm{shown}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{graph}. \\ \left(\mathrm{b}\right)\mathrm{Find}\mathrm{a}\mathrm{piecewise}-\mathrm{defined}\mathrm{formula}\mathrm{for}\mathrm{your}\mathrm{velocity}\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right),\mathrm{in}\mathrm{miles}\mathrm{per}\mathrm{hour},\mathrm{t}\mathrm{hours}\mathrm{after}\mathrm{you}\mathrm{start}\mathrm{from}\mathrm{rest}. \\ (\mathrm{Note}\mathrm{that}1\mathrm{minute}\mathrm{is}\frac{1}{60}\mathrm{of}\mathrm{an}\mathrm{hour}.) \\ \left(\mathrm{c}\right)\mathrm{Approximate}\mathrm{the}\mathrm{distance}\mathrm{you}\mathrm{travelled}\mathrm{over}\mathrm{the}10\mathrm{minutes}\mathrm{by}\mathrm{using}10\mathrm{subintervals}\mathrm{of}1\mathrm{minute}\mathrm{over}\mathrm{which}\mathrm{you}\mathrm{assume}\mathrm{a}\mathrm{constant}\mathrm{velocity}. \\ \mathrm{Illustrate}\mathrm{this}\mathrm{approximation}\mathrm{by}\mathrm{showing}\mathrm{rectangles}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{graph}\mathrm{of}\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right). \\ \left(\mathrm{d}\right)\mathrm{Given}\mathrm{that}\mathrm{distance}\mathrm{travelled}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{under}\mathrm{the}\mathrm{velocity}\mathrm{graph},\mathrm{use}\mathrm{triangles}\mathrm{and}\mathrm{squares}\mathrm{to}\mathrm{calculate}\mathrm{the}\mathrm{exact}\mathrm{distance}\mathrm{travelled}. \end{gathered}$$

Short answer

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{a}\right).\mathrm{The}\mathrm{velocity}\mathrm{of}\mathrm{car}\mathrm{increases}\mathrm{during}0-2\mathrm{minutes},\mathrm{remains}\mathrm{constant}\mathrm{during}2-9\mathrm{minutes}\mathrm{and}\mathrm{starts}\mathrm{decreasing}\mathrm{during}9-10\mathrm{minutes}. \\ \mathrm{The}\mathrm{car}\mathrm{finally}\mathrm{stops}\mathrm{after}{10}^{\mathrm{th}}\mathrm{minute}. \\ \left(\mathrm{b}\right).\mathrm{The}\mathrm{piecewise}\mathrm{defined}\mathrm{formula}\mathrm{for}\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)=\left\{\begin{array}{l}(0-\frac{100}{88}=\frac{25}{22})\mathrm{mph},0\le \mathrm{t}<\frac{1}{30}\\ \left(\frac{25}{22}\right)\mathrm{mph},\frac{1}{30}\le \mathrm{t}<\frac{3}{20}\\ (\frac{25}{22}-0)\mathrm{mph},\frac{3}{20}\le \mathrm{t}<\frac{1}{6}\end{array}\right. \\ \left(\mathrm{c}\right).\mathrm{The}\mathrm{total}\mathrm{distance}\mathrm{travelled}\mathrm{by}\mathrm{racing}\mathrm{car}\mathrm{in}10\mathrm{minutes}\mathrm{is}850\mathrm{ft}. \\ \left(\mathrm{d}\right).\mathrm{The}\mathrm{total}\mathrm{distance}\mathrm{travelled}\mathrm{by}\mathrm{racing}\mathrm{car}\mathrm{in}10\mathrm{minutes}\mathrm{is}850\mathrm{ft}. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given Information 

time = 10 minutes

Step 2. Solution (a) : Behavior of race car over 10 minutes.

$$\begin{gathered} \mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that},\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{velocity}-\mathrm{time}\mathrm{graph}\mathrm{represents}\mathrm{acceleration}\mathrm{of}\mathrm{an}\mathrm{object} \\ \mathrm{Therefore}, \\ \mathrm{For}0\le t<2:\mathrm{a}=\frac{(100-0)\mathrm{ft}/\min }{(2-0)\min }=+50\mathrm{ft}/{\min }^2. \\ \mathrm{as}\mathrm{acceleration}\mathrm{is}\mathrm{positive},\mathrm{therefore}\mathrm{velocity}\mathrm{of}\mathrm{car}\mathrm{increases}\mathrm{in}\mathrm{time}\mathrm{interval}0-2\min . \\ \mathrm{For}2\le \mathrm{t}<9:\mathrm{a}=\frac{(100-100)\mathrm{ft}/\min }{(9-2)\min }=0\mathrm{ft}/{\min }^2. \\ \mathrm{as}\mathrm{acceleration}\mathrm{is}\mathrm{zero},\mathrm{therefore}\mathrm{velocity}\mathrm{remains}\mathrm{constant}\mathrm{in}\mathrm{time}\mathrm{interval}2-9\min . \\ \mathrm{For}9\le \mathrm{t}<10:\mathrm{a}=\frac{(0-100)\mathrm{ft}/\min }{(10-9)\min }=-100\mathrm{ft}/{\min }^2. \\ \mathrm{as}\mathrm{acceleration}\mathrm{is}\mathrm{negative},\mathrm{therefore}\mathrm{velcity}\mathrm{of}\mathrm{car}\mathrm{decreases}\mathrm{in}\mathrm{time}\mathrm{interval}9-10\min \mathrm{and} \\ \mathrm{car}\mathrm{finally}\mathrm{stops}\mathrm{after}{10}^{\mathrm{th}}\min . \end{gathered}$$

Step 3. Solution (b) : Piecewise-defined formula for velocity v(t) in miles per hour starting from rest

$$\begin{gathered} \mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)(\mathrm{ft}/\min )=\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)\times \frac{1}{88}\mathrm{miles}/\mathrm{hour}\mathrm{as}1\mathrm{mph}=88\mathrm{ft}./\min \\ \mathrm{Continuous}\mathrm{time}\mathrm{intervals}\mathrm{used}\mathrm{are}:0\le \mathrm{t}<2,2\le \mathrm{t}<9,9\le \mathrm{t}<10. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{piecewise}\mathrm{defined}\mathrm{formula}\mathrm{for}\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)=\left\{\begin{array}{l}(0-\frac{100}{88}=\frac{25}{22})\mathrm{mph},0\le \mathrm{t}<\frac{1}{30}\\ \left(\frac{25}{22}\right)\mathrm{mph},\frac{1}{30}\le \mathrm{t}<\frac{3}{20}\\ (\frac{25}{22}-0)\mathrm{mph},\frac{3}{20}\le \mathrm{t}<\frac{1}{6}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Step 4. Solution (c) : Finding appx. distance in 10 minutes by using 10 subintervals in 1 minute over which we assume velocity constant.

$$\begin{gathered} \mathrm{Formula}\mathrm{used}:\mathrm{distance}=\mathrm{velocity}\times \mathrm{time}. \\ \mathrm{For}\mathrm{time}\mathrm{interval}0\mathrm{to}2\mathrm{minutes}\mathrm{the}\mathrm{constant}\mathrm{velocity}\mathrm{is}\mathrm{equal}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{average}\mathrm{velocity} \\ {\mathrm{v}}_{(0-2)}=\frac{(0+100)\mathrm{ft}/\min }{2}=50\mathrm{ft}/\min . \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{distance}\mathrm{travelled}\mathrm{for}\mathrm{first}\mathrm{two}\mathrm{minutes}\mathrm{of}\mathrm{journey}\mathrm{is} \\ {\mathrm{d}}_{(0-2)}=50\frac{\mathrm{ft}}{\min }\mathrm{x}2\min =100\mathrm{ft}.......\left(1\right) \\ \mathrm{For}\mathrm{time}\mathrm{interval}2\mathrm{to}9\mathrm{minutes}\mathrm{the}\mathrm{constant}\mathrm{velocity}\mathrm{is}\mathrm{v}(2-9)100\mathrm{ft}/\min . \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{distance}\mathrm{travelled}\mathrm{in}2\mathrm{to}9\mathrm{minutes}\mathrm{of}\mathrm{journey}\mathrm{minutes}\mathrm{is} \\ {\mathrm{d}}_{(2-9)}=100\frac{\mathrm{ft}}{\min }\times (9-2)\min =700\mathrm{ft}......\left(2\right) \\ \mathrm{For}\mathrm{time}\mathrm{interval}9\mathrm{to}10\mathrm{minutes}\mathrm{the}\mathrm{constant}\mathrm{velocity}\mathrm{is}\mathrm{equal}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{average}\mathrm{velocity} \\ {\mathrm{v}}_{(9-10)}=\frac{(0+100)\mathrm{ft}/\min }{2}=50\mathrm{ft}/\min . \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{distance}\mathrm{travelled}\mathrm{in}\mathrm{last}1\mathrm{minute}\mathrm{of}\mathrm{journey}\mathrm{is} \\ {\mathrm{d}}_{(9-10)}=50\frac{\mathrm{ft}}{\min }\mathrm{x}1\min =50\mathrm{ft}.....\left(3\right) \\ \mathrm{The}\mathrm{total}\mathrm{distance}\mathrm{travelled}\mathrm{by}\mathrm{racing}\mathrm{car}\mathrm{is} \\ \mathrm{d}={\mathrm{d}}_{(0-2)}+{\mathrm{d}}_{(2-9)}+{\mathrm{d}}_{(9-10)}=(100+700+50)\mathrm{ft}=850\mathrm{ft}. \\ \mathrm{The}\mathrm{division}\mathrm{of}\mathrm{time}10\mathrm{minutes}\mathrm{in}10\mathrm{subinervals}\mathrm{is}\mathrm{shown}\mathrm{in}\mathrm{figure}\mathrm{here}. \end{gathered}$$

Step 5. Solution (d) : Distance travelled as the area of velocity-time graph

$$\begin{gathered} \mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{triangle}△=\frac{1}{2}\times \mathrm{base}\times \mathrm{height},\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{rectangle}▭=\mathrm{Length}\times \mathrm{breadth}. \\ \mathrm{Calculation}: \\ \mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{velocity}-\mathrm{time}\mathrm{graph}\mathrm{given}\mathrm{in}\mathrm{part}\left(\mathrm{a}\right)\mathrm{of}\mathrm{racing}\mathrm{car},\mathrm{there}\mathrm{are}\mathrm{two}\mathrm{triangles}\mathrm{and}\mathrm{one}\mathrm{rectangle}. \\ \mathrm{The}\mathrm{total}\mathrm{distance}\mathrm{travelled}\mathrm{by}\mathrm{car}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{two}\mathrm{triangles}\mathrm{and}\mathrm{one}\mathrm{rectangle}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{the}\mathrm{distance}\mathrm{travelled}\mathrm{for}\mathrm{first}\mathrm{two}\mathrm{minutes}\mathrm{is}\mathrm{equal}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{area}△\mathrm{OA}2,\mathrm{i}.\mathrm{e}. \\ {\mathrm{d}}_{(0-2)}=△\mathrm{OA}2=\frac{1}{2}\times (2-0)\times 100=100\mathrm{ft}. \\ \mathrm{The}\mathrm{distance}\mathrm{travelled}\mathrm{in}2\mathrm{to}9\mathrm{minutes}\mathrm{of}\mathrm{journey}\mathrm{minutes}\mathrm{is}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{rectangle}▭2\mathrm{AB}92 \\ {\mathrm{d}}_{(2-9)}=▭2\mathrm{AB}92=100\mathrm{x}(9-2)=700\mathrm{ft}. \\ \mathrm{The}\mathrm{distance}\mathrm{travelled}\mathrm{last}\mathrm{minute}\mathrm{of}\mathrm{joumey}\mathrm{is}\mathrm{equal}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{area}△9\mathrm{B}10,\mathrm{ie}. \\ {\mathrm{d}}_{(9-10)}=△9\mathrm{B}10=\frac{1}{2}\times (10-9)\times 100=50\mathrm{ft}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{total}\mathrm{distance}\mathrm{travelled}\mathrm{by}\mathrm{racing}\mathrm{car}\mathrm{is}{\mathrm{d}}_{(0-2)}+{\mathrm{d}}_{(2-9)}+{\mathrm{d}}_{(9-10)}=850\mathrm{ft}. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{total}\mathrm{distance}\mathrm{travelled}\mathrm{by}\mathrm{racing}\mathrm{car}\mathrm{is}850\mathrm{ft}. \end{gathered}$$