Question

State the Mean Value Theorem, and illustrate the theorem with a graph.

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{tangent}\mathrm{line}\mathrm{at}\mathrm{point}\mathrm{c}\mathrm{is}\mathrm{parallel}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{secant}\mathrm{line}\mathrm{connecting}\mathrm{the}(\mathrm{a},\mathrm{f}(\mathrm{a}\left)\right)\mathrm{and}(\mathrm{b},\mathrm{f}(\mathrm{b}\left)\right). \\ \mathrm{Slope}\mathrm{of}\mathrm{secant}\mathrm{line}\mathrm{is}: \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{c}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{b}-\mathrm{a}} \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

$$\begin{gathered} \mathrm{Point}\mathrm{c}\mathrm{in}(\mathrm{a},\mathrm{b})\mathrm{such}\mathrm{that} \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{c}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{b}-\mathrm{a}} \end{gathered}$$

Step 2. Graph and Interpretation

$$\begin{gathered} \mathrm{Geometrically},\mathrm{it}\mathrm{gives}\mathrm{the}\mathrm{relation}\mathrm{between}\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{secant}\mathrm{line}\mathrm{and}\mathrm{slope}\mathrm{of} \\ \mathrm{tangent}\mathrm{line}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{tangent}\mathrm{line}\mathrm{at}\mathrm{point}\mathrm{c}\mathrm{is}\mathrm{parallel}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{secant}\mathrm{line}\mathrm{connecting}\mathrm{the}(\mathrm{a},\mathrm{f}(\mathrm{a}\left)\right)\mathrm{and}(\mathrm{b},\mathrm{f}(\mathrm{b}\left)\right). \\ \mathrm{Slope}\mathrm{of}\mathrm{secant}\mathrm{line}\mathrm{is}: \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{c}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{b}-\mathrm{a}} \end{gathered}$$