Question

Prove that the function is increasing on all values of real numbers.

$f\left(x\right)=x^3$.

Short answer

$T\mathrm{he}\mathrm{function}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^5\mathrm{is}\mathrm{increasing}\mathrm{on}\mathrm{all}\mathrm{of}\mathrm{real}\mathrm{number}.$

Step-by-step solution

Step 1. Given 

The given function is$f\left(x\right)=x^3$.

Step 2.  Finding the intervals

$$\begin{gathered} \mathrm{Now},\mathrm{i}fb<a\le 0\mathrm{then} \\ {b}^5<a^5\mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{function}f\left(x\right)=x^5\mathrm{is}\mathrm{increasing}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{interva}l(-\infty ,0]. \\ Now,if0<a<bthen \\ {a}^5<b^5 \\ \mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{function}f\left(x\right)=x^5\mathrm{is}\mathrm{increasing}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{interval}[0,\infty ). \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{function}f\left(x\right)=x^{5}is\mathrm{increasing}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{interval}(-\infty ,\infty ). \end{gathered}$$

Step 3. Prove

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{derivative}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=5{\mathrm{x}}^4 \\ \mathrm{Which}\mathrm{is}\mathrm{always}\mathrm{positive}\mathrm{for}\mathrm{x}\in \mathrm{R}.\mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^5\mathrm{is}\mathrm{increasing}\mathrm{on}\mathrm{all}\mathrm{of}\mathrm{real}\mathrm{number}. \end{gathered}$$