Question

$$\begin{gathered} \mathrm{Prove}\mathrm{that}\mathrm{if}f\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{on}[a,b]\mathrm{and}C\mathrm{is}\mathrm{any}\mathrm{real}\mathrm{number},\mathrm{then}f\left(x\right) \\ \mathrm{and}f\left(x\right)+C\mathrm{have}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{arc}\mathrm{length}\mathrm{on}[a,b].\mathrm{Then}\mathrm{explain}\mathrm{why}\mathrm{this} \\ \mathrm{makes}\mathrm{sense}\mathrm{graphically}. \end{gathered}$$

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{arc}\mathrm{length}\mathrm{of}f\left(x\right)\mathrm{from}x=a\mathrm{to}x=b\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{represented}\mathrm{by}\mathrm{the} \\ \mathrm{definite}\mathrm{integral}:{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\sqrt{1+(\mathrm{f}\text{'}{\left(\mathrm{x}\right))}^2}d\mathrm{x} \\ \mathrm{Here},\mathrm{when}f\left(x\right)\mathrm{and}f\left(x\right)+C\mathrm{are}\mathrm{differentiated},\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{the}\mathrm{same}f\text{'}\left(x\right)\mathrm{as} \\ \mathrm{differentiation}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{constant}\mathrm{is}\mathrm{zero}.\mathrm{when}\mathrm{this}\mathrm{is}\mathrm{substituted}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{definite} \\ \mathrm{integral}\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{arc}\mathrm{length}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{interval}. \\ \mathrm{Graphically}\mathrm{this}\mathrm{makes}\mathrm{sense}\mathrm{as}\mathrm{the}f\left(x\right)+C\mathrm{is}\mathrm{vertically}\mathrm{shifted}\mathrm{version} \\ \mathrm{of}f\left(x\right)\mathrm{and}\mathrm{arc}\mathrm{lengths}\mathrm{of}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{curves}\mathrm{are}\mathrm{same}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{interval}. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given information 

$f\left(x\right)\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{on}[a,b]\mathrm{and}C\mathrm{is}\mathrm{any}\mathrm{real}\mathrm{number}$.

Step 2. Finding arc lengths of f(x) and f(x)+C and proving why both are same.

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{arc}\mathrm{length}\mathrm{of}f\left(x\right)\mathrm{from}x=a\mathrm{to}x=b\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{represented}\mathrm{by}\mathrm{the} \\ \mathrm{definite}\mathrm{integral}:{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\sqrt{1+(\mathrm{f}\text{'}{\left(\mathrm{x}\right))}^2}d\mathrm{x} \\ \mathrm{Here},\mathrm{when}f\left(x\right)\mathrm{and}f\left(x\right)+C\mathrm{are}\mathrm{differentiated},\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{the}\mathrm{same}f\text{'}\left(x\right)\mathrm{as} \\ \mathrm{differentiation}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{constant}\mathrm{is}\mathrm{zero}.\mathrm{when}\mathrm{this}\mathrm{is}\mathrm{substituted}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{definite} \\ \mathrm{integral}\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{arc}\mathrm{length}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{interval}. \\ \mathrm{Graphically}\mathrm{this}\mathrm{makes}\mathrm{sense}\mathrm{as}\mathrm{the}f\left(x\right)+C\mathrm{is}\mathrm{vertically}\mathrm{shifted}\mathrm{version} \\ \mathrm{of}f\left(x\right)\mathrm{and}\mathrm{arc}\mathrm{lengths}\mathrm{of}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{curves}\mathrm{are}\mathrm{same}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{interval}. \end{gathered}$$