Question

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{region}\mathrm{between}\mathrm{the}\mathrm{graphs}\mathrm{of}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2\mathrm{and}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}\mathrm{on}[0,2]. \\ \mathrm{For}\mathrm{each}\mathrm{line}\mathrm{of}\mathrm{rotation}\mathrm{given}\mathrm{in}\mathrm{Exercises}47–50,\mathrm{use}\mathrm{definite}\mathrm{integrals}\mathrm{to}\mathrm{find} \\ \mathrm{the}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{resulting}\mathrm{solid}. \end{gathered}$$

Short answer

$\mathrm{The}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{solid}\mathrm{of}\mathrm{revolution},\mathrm{V}=\frac{104}{15}\mathrm{\pi }$

Step-by-step solution

Step 1. Given information is:

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{region}\mathrm{bounded}\mathrm{by}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2\mathrm{and}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x},\mathrm{between}\mathrm{the}\mathrm{interval}[0,2], \\ \mathrm{is}\mathrm{rotated}\mathrm{around}\mathrm{horizontal}\mathrm{line},\mathrm{y}=-1. \end{gathered}$$

Step 2. Determining Volume of Solid of Revolution

$$\begin{gathered} \mathrm{For}\mathrm{the}\mathrm{washer},\mathrm{the}\mathrm{external}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{each}\mathrm{washer}\mathrm{is}1+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{and}\mathrm{internal}\mathrm{radius}\mathrm{of} \\ \mathrm{each}\mathrm{washer}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{as}1+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right). \\ \mathrm{The}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{washer}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}: \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left({\left(\mathrm{R}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2-{\left(\mathrm{r}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2\right)\mathrm{dx} \\ \mathrm{Using}\mathrm{this}\mathrm{definition}\mathrm{to}\mathrm{determine}\mathrm{the}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{solid}\mathrm{of}\mathrm{revolution}, \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_0^2\left({\left(1+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2-{\left(1+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2\right)\mathrm{dx} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_0^2\left({\left(1+2\mathrm{x}\right)}^2-{\left(1+{\mathrm{x}}^2\right)}^2\right)\mathrm{dx} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_0^2\left((1+4{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x})-(1+{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^2)\right)\mathrm{dx} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_0^2\left(2{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^4\right)\mathrm{dx} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\left[\frac{2{\mathrm{x}}^3}{3}+\frac{4{\mathrm{x}}^2}{2}-\frac{{\mathrm{x}}^5}{5}\right]}_0^2 \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }\left[\left(\frac{16}{3}+8-\frac{32}{5}\right)-\left(0\right)\right] \\ \mathrm{V}=\frac{104}{15}\mathrm{\pi } \end{gathered}$$