Question

$$\begin{gathered} \mathrm{Write}\mathrm{each}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{limits}\mathrm{in}\mathrm{Exercises}9–11\mathrm{in}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{definite}\mathrm{integrals},\mathrm{and}\mathrm{identify} \\ \mathrm{a}\mathrm{solid}\mathrm{of}\mathrm{revolution}\mathrm{whose}\mathrm{volume}\mathrm{is}\mathrm{represented}\mathrm{by}\mathrm{that}\mathrm{definite}\mathrm{integral}: \\ \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{\pi }{(4-({\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*})}^2)\left(\frac{2}{\mathrm{n}}\right),\mathrm{with}{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*}={\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=\mathrm{k}\left(\frac{2}{\mathrm{n}}\right) \end{gathered}$$

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{solid}\mathrm{of}\mathrm{revolution}\mathrm{is}\mathrm{formed}\mathrm{by}\mathrm{rotating}\mathrm{the}\mathrm{region}\mathrm{below}\mathrm{the}curve\sqrt{4-x^2} \\ \mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{interval}[0,2]. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given Information is:

$\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{\pi }{(4-({\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*})}^2)\left(\frac{2}{\mathrm{n}}\right),\mathrm{with}{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*}={\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=\mathrm{k}\left(\frac{2}{\mathrm{n}}\right)$

Step 2. Finding Interval

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{expression}\mathrm{for}\mathrm{input}\mathrm{variable}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{as}: \\ {\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}+\mathrm{k}(∆\mathrm{x}) \\ {\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}+\mathrm{k}\left(\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{\mathrm{n}}\right) \\ \mathrm{Compare}\mathrm{this}\mathrm{expression}\mathrm{with}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{expression}\mathrm{to}\mathrm{have}\mathrm{the}\mathrm{values}\mathrm{as} \\ \mathrm{a}=0\mathrm{and}\mathrm{b}-\mathrm{a}=2.\mathrm{Use}\mathrm{these}\mathrm{equations},\mathrm{to}\mathrm{derive}\mathrm{b}=2. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{interval}\mathrm{of}\mathrm{intergration}\mathrm{is}[0,2]. \end{gathered}$$

Step 3. Creating definite integral

$$\begin{gathered} \mathrm{To}\mathrm{create}\mathrm{the}\mathrm{definite}\mathrm{integral},\mathrm{replace}\mathrm{the}\mathrm{summation}\mathrm{sign}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{sign}\mathrm{of} \\ \mathrm{definite}\mathrm{integral},∆\mathrm{x}\mathrm{by}\mathrm{dx}: \\ \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{\pi }{(4-({\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*})}^2)\left(\frac{2}{\mathrm{n}}\right)={\int }_0^2\mathrm{\pi }(4-{\mathrm{x}}^2)\mathrm{dx} \\ \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{\pi }{(4-({\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}^{*})}^2)\left(\frac{2}{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{\pi }{\int }_0^2(4-{\mathrm{x}}^2)\mathrm{dx} \end{gathered}$$

Step 4. Result

$$\begin{gathered} \mathrm{This}\mathrm{integral}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{compared}\mathrm{with}\mathrm{the}\mathrm{expression}\mathrm{for}\mathrm{solid}\mathrm{of}\mathrm{revolution}\mathrm{given}\mathrm{as} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2\mathrm{dx} \\ \mathrm{Compare}\mathrm{this}\mathrm{expression}\mathrm{with}\mathrm{the}\mathrm{definite}\mathrm{integral}\mathrm{derived}\mathrm{above}\mathrm{to}\mathrm{determine}\mathrm{the} \\ \mathrm{function}\mathrm{for}\mathrm{solid}\mathrm{of}\mathrm{revolution}. \\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{interval}[0,2]. \\ \mathrm{This}\mathrm{represents}\mathrm{a}\mathrm{quadrant}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{given}\mathrm{circle}. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{solid}\mathrm{of}\mathrm{revolution}\mathrm{is}\mathrm{formed}\mathrm{by}\mathrm{rotating}\mathrm{the}\mathrm{region}\mathrm{below}\mathrm{this}\mathrm{curve} \\ \mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{mentioned}\mathrm{interval}. \end{gathered}$$