Question

$$\begin{gathered} \mathrm{Write}\mathrm{each}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{limits}\mathrm{in}\mathrm{Exercises}9–11\mathrm{in}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{definite}\mathrm{integrals},\mathrm{and}\mathrm{identify} \\ \mathrm{a}\mathrm{solid}\mathrm{of}\mathrm{revolution}\mathrm{whose}\mathrm{volume}\mathrm{is}\mathrm{represented}\mathrm{by}\mathrm{that}\mathrm{definite}\mathrm{integral}: \\ \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{\pi }{(1+{\mathrm{y}}_{\mathrm{k}}^{*})}^2\left(\frac{3}{\mathrm{n}}\right),\mathrm{with}{\mathrm{y}}_{\mathrm{k}}^{*}={\mathrm{y}}_{\mathrm{k}}=1+\mathrm{k}\left(\frac{3}{\mathrm{n}}\right) \end{gathered}$$

Short answer

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{solid}\mathrm{of}\mathrm{revolution}\mathrm{is}\mathrm{formed}\mathrm{by}\mathrm{rotating}\mathrm{the}\mathrm{region}\mathrm{below}\mathrm{the}\mathrm{straight}\mathrm{line} \\ (1+\mathrm{y})\mathrm{around}\mathrm{the}\mathrm{y}-\mathrm{axis}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{interval}[2,5]. \end{gathered}$$

Step-by-step solution

Step 1. Given Information is:

$\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{\pi }{(1+{\mathrm{y}}_{\mathrm{k}}^{*})}^2\left(\frac{3}{\mathrm{n}}\right),\mathrm{with}{\mathrm{y}}_{\mathrm{k}}^{*}={\mathrm{y}}_{\mathrm{k}}=1+\mathrm{k}\left(\frac{3}{\mathrm{n}}\right)$

Step 2. Finding Interval

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{expression}\mathrm{for}\mathrm{input}\mathrm{variable}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{as}: \\ {y}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}+\mathrm{k}(∆y) \\ {y}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}+\mathrm{k}\left(\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{\mathrm{n}}\right) \\ \mathrm{Compare}\mathrm{this}\mathrm{expression}\mathrm{with}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{expression}\mathrm{to}\mathrm{have}\mathrm{the}\mathrm{values}\mathrm{as} \\ \mathrm{a}=2\mathrm{and}\mathrm{b}-\mathrm{a}=3.\mathrm{Use}\mathrm{these}\mathrm{equations},\mathrm{to}\mathrm{derive}\mathrm{b}=5. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{interval}\mathrm{of}\mathrm{intergration}\mathrm{is}[2,5]. \end{gathered}$$

Step 3. Creating definite integral

$$\begin{gathered} \mathrm{To}\mathrm{create}\mathrm{the}\mathrm{definite}\mathrm{integral},\mathrm{replace}\mathrm{the}\mathrm{summation}\mathrm{sign}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{sign}\mathrm{of} \\ \mathrm{definite}\mathrm{integral},∆\mathrm{y}\mathrm{by}\mathrm{dy}: \\ \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{\pi }{(1+{\mathrm{y}}_{\mathrm{k}}^{*})}^2\left(\frac{3}{\mathrm{n}}\right)={\int }_2^5\mathrm{\pi }{(1+\mathrm{y})}^2\mathrm{dx} \\ \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{\pi }{(1+{\mathrm{y}}_{\mathrm{k}}^{*})}^2\left(\frac{3}{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{\pi }{\int }_2^5{(1+\mathrm{y})}^2\mathrm{dx} \end{gathered}$$

Step 4. Result

$$\begin{gathered} \mathrm{This}\mathrm{integral}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{compared}\mathrm{with}\mathrm{the}\mathrm{expression}\mathrm{for}\mathrm{solid}\mathrm{of}\mathrm{revolution}\mathrm{around}\mathrm{y}-\mathrm{axis} \\ \mathrm{given}\mathrm{as} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)\right)}^2\mathrm{dx} \\ \mathrm{Compare}\mathrm{this}\mathrm{expression}\mathrm{with}\mathrm{the}\mathrm{definite}\mathrm{integral}\mathrm{derived}\mathrm{above}\mathrm{to}\mathrm{determine}\mathrm{the} \\ \mathrm{function}\mathrm{for}\mathrm{solid}\mathrm{of}\mathrm{revolution}. \\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)=(1+\mathrm{y})\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{interval}[2,5]. \\ \mathrm{This}\mathrm{represents}\mathrm{a}\mathrm{straight}\mathrm{line}. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{solid}\mathrm{of}\mathrm{revolution}\mathrm{is}\mathrm{formed}\mathrm{by}\mathrm{rotating}\mathrm{the}\mathrm{region}\mathrm{below}\mathrm{this}\mathrm{straight}\mathrm{line} \\ \mathrm{around}\mathrm{the}\mathrm{y}-\mathrm{axis}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{mentioned}\mathrm{interval}. \end{gathered}$$