Question

Show that $G\cong D_4$ under the correspondence

$a^i\to r_i,b\to d,ab\to h,a^{2}b\to t,a^{3}b\to v$

by comparing the table in part (a) with the table for ${\mathit{D}}_4$ in Example 1of Section 8.2.

Short answer

It is shown that, $G\cong D_4$.

Step-by-step solution

In part (a), we get

	e	a	$a^2$	$a^3$	b	ab	$a^{2}b$	$a^{3}b$
e	e	a	$a^2$	$a^3$	b	ab	$a^{2}b$	$a^{3}b$
a	a	$a^2$	$a^3$	e	ab	$a^{2}b$	$a^{3}b$	b
$a^2$	$a^2$	$a^3$	e	a	$a^{2}b$	$a^{3}b$	b	ab
$a^3$	$a^3$	e	a	$a^2$	$a^{3}b$	b	ab	$a^{2}b$
b	b	$a^{3}b$	$a^{2}b$	ab	e	$a^3$	$a^2$	a
ab	ab	b	$a^{3}b$	$a^{2}b$	a	e	$a^3$	$a^2$
$a^{2}b$	$a^{2}b$	ab	b	$a^{3}b$	$a^2$	a	e	$a^3$
$a^{3}b$	$a^{3}b$	$a^{2}b$	ab	b	$a^3$	$a^2$	a	e

Replace ai→ri,b→d,ab→h,a2b→t,a3b→v we get

	$r_0$	$r_1$	$r_2$	$r_3$	d	h	t	v
$r_0$	$r_0$	$r_1$	$r_2$	$r_3$	d	h	t	v
$r_1$	$r_1$	$r_2$	$r_3$	$r_0$	h	t	v	d
$r_2$	$r_2$	$r_3$	$r_0$	$r_1$	t	v	d	h
$r_3$	$r_3$	$r_0$	$r_1$	$r_2$	v	d	h	t
d	d	v	t	h	$r_0$	$r_3$	$r_2$	$r_1$
h	h	d	v	t	$r_1$	$r_0$	$r_3$	$r_2$
t	t	h	d	v	$r_2$	$r_1$	$r_0$	$r_3$
v	v	t	h	d	$r_3$	$r_2$	$r_1$	$r_0$

Hence,$G\cong D_4$