Question

Question: In the proof of Theorem 9.34, complete the operation table for the group in the case when$b^2=e$.

Short answer

	$e$	$a$	$a^2$	$a^3$	$b$	$ab$	$a^{2}b$	$a^{3}b$
$e$	$e$	$a$	$a^2$	$a^3$	$b$	$ab$	$a^{2}b$	$a^{3}b$
$a$	$a$	$a^2$	$a^3$	$e$	$ab$	$a^{2}b$	$a^{3}b$	$b$
$a^2$	$a^2$	$a^3$	$e$	$a$	$a^{2}b$	$a^{3}b$	$b$	$a^{2}b$
$a^3$	$a^3$	$e$	$a$	$a^2$	$a^{3}b$	$b$	$ab$	$a^{2}b$
$b$	$b$	$a^{3}b$	$a^{2}b$	$ab$	$e$	data-custom-editor="chemistry" ${\mathrm{a}}^3$	$a^2$	$a$
$ab$	$ab$	$b$	$a^{3}b$	$a^{2}b$	$a$	$e$	$a^3$	$a^2$
$a^{2}b$	$a^{2}b$	$ab$	$b$	$a^{3}b$	$a^2$	$a$	$e$	$a^3$
$a^{3}b$	$a^{3}b$	$a^{2}b$	$ab$	$b$	$a^3$	$a^2$	$a$	$e$

Step-by-step solution

Complete the operation table for the group G

Given that $b^2=e$.

Find the table for the group G when $b^2=e$in the proof of Theorem 9.34 as:

	$e$	$a$	$a^2$	$a^3$	$b$	$ab$	$a^{2}b$	$a^{3}b$
$e$	$e$	$a$	$a^2$	$a^3$	$b$	$ab$	$a^{2}b$	$a^{2}b$
$a$	$a$	$a^2$	$a^3$	$e$	$ab$	$a^{2}b$	$a^{3}b$	$b$
$a^2$	$a^2$	$a^3$	$e$	$a$	$a^{2}b$	$a^{3}b$	$b$	$ab$
$a^3$	$a^3$	$e$	$a$	$a^2$	$a^{3}b$	$b$	$ab$	$a^{2}b$
$b$	$b$	$a^{3}b$	$a^{2}b$	$ab$	$e$	$a^3$	$a^2$	$a$
$ab$	$ab$	$b$	$a^{3}b$	$a^{2}b$	$a$	$e$	$a^3$	$a^2$
$a^{2}b$	$a^{2}b$	$ab$	$b$	$a^{3}b$	$a^2$	$a$	$e$	$a^3$
$a^{3}b$	$a^{3}b$	$a^{2}b$	$ab$	$b$	$a^3$	$a^2$	$a$	$e$