Question

In the proof of Theorem 9.34, complete the operation table for the group G in the case when ${\mathit{b}}^2=e$.

Short answer

	e	a	$a^2$	$a^3$	b	ab	$a^{2}b$	$a^{3}b$
e	e	a	$a^2$	$a^3$	b	ab	$a^{2}b$	$a^{3}b$
a	a	$a^2$	$a^3$	e	ab	$a^{2}b$	$a^{3}b$	b
$a^2$	$a^2$	$a^3$	e	a	$a^{2}b$	$a^{3}b$	b	ab
$a^3$	$a^3$	e	a	$a^2$	$a^{3}b$	b	ab	$a^{2}b$
b	b	$a^{3}b$	$a^{2}b$	ab	e	$a^3$	$a^2$	a
ab	ab	b	$a^{3}b$	$a^{2}b$	a	e	$a^3$	$a^2$
$a^{2}b$	$a^{2}b$	ab	b	$a^{3}b$	$a^2$	a	e	$a^3$
$a^{3}b$	$a^{3}b$	$a^{2}b$	ab	b	$a^3$	$a^2$	a	e

Step-by-step solution

Complete the operation table for the group G

Given that $b^2=e$.

Find the table for the group G when $b^2=e$in the proof of Theorem 9.34 as:

	e	a	$a^2$	$a^3$	b	ab	$a^{2}b$	$a^{3}b$
e	e	a	$a^2$	$a^3$	b	ab	$a^{2}b$	$a^{3}b$
a	a	$a^2$	$a^3$	e	ab	$a^{2}b$	$a^{3}b$	b
$a^2$	$a^2$	$a^3$	e	a	$a^{2}b$	$a^{3}b$	b	ab
$a^3$	$a^3$	e	a	$a^2$	$a^{3}b$	b	ab	$a^{2}b$
b	b	$a^{3}b$	$a^{2}b$	ab	e	$a^3$	$a^2$	a
ab	ab	b	$a^{3}b$	$a^{2}b$	a	e	$a^3$	$a^2$
$a^{2}b$	$a^{2}b$	ab	b	$a^{3}b$	$a^2$	a	e	$a^3$
$a^{3}b$	$a^{3}b$	$a^{2}b$	ab	b	$a^3$	$a^2$	a	e