Question

Refer to Exercise 29 for this four-element ring:

+	w	x	y	z
w	w	x	y	z
x	x	y	z	w
y	y	z	w	x
z	z	w	x	y

.	w	x	y	z
w	w	w	w	w
x	w	y
y	w		w
z	w		w	y

Short answer

The required table is as follows:

.	w	x	y	z
w	w	w	w	w
x	w	y	w	y
y	w	w	w	w
z	w	y	w	y

Step-by-step solution

Use Distributive Law

Consider the given table,

+	w	X	y	z
w	w	X	y	z
x	x	Y	z	w
y	y	Z	w	x
z	z	W	x	y

.	w	X	y	z
w	w	W	w	w
x	w	Y
y	w		w
z	w		w	y

Using distributive law,

$$\begin{gathered} zx=z\left(y+z\right)=zy+zz=w+y=y \\ xy=\left(y+z\right)y=yy+zy=w+w=w \\ yx=\left(x+z\right)x=xx+zx=y+y=w \\ xz=x\left(x+y\right)=xx+xy=y+w=y \\ yz=y\left(x+y\right)=yx+yy=w+w=w \end{gathered}$$

Preparing a table

Preparing a table from the above equation,

.	w	x	y	z
w	w	w	w	w
x	w	y	w	y
y	w	w	w	w
z	w	y	w	y