Question

(a) Find all $\left[a\right]$ in ${\mathbf{\mathbb{Z}}}_{\mathbf{s}}$ for which the equation $\left[a\right]\mathbf{\odot }\mathit{x}\mathbf{=}\left[1\right]$has a solution. Then do the same thing for

(b)${\mathbf{\mathbb{Z}}}_{\mathbf{4}}$

(c)${\mathbf{\mathbb{Z}}}_{\mathbf{3}}$

(d)${\mathbf{\mathbb{Z}}}_{\mathbf{6}}$

Short answer

(a) $\left[a\right]\in \left\{\left[1\right],\left[2\right],\left[3\right],\left[4\right]\right\}$

(b)$\left[a\right]\in \left\{\left[1\right],\left[3\right]\right\}$

(c)$\left[a\right]\in \left\{\left[1\right],\left[2\right]\right\}$

(d)$\left[a\right]\in \left\{\left[1\right],\left[5\right]\right\}$

Step-by-step solution

Find the solution (a)

Make the table as:

$\left[a\right]$	$\left[a\right]\odot \left[0\right]$	$\left[a\right]\odot \left[1\right]$	$\left[a\right]\odot \left[2\right]$	$\left[a\right]\odot \left[3\right]$	$\left[a\right]\odot \left[4\right]$
$\left[0\right]$	$\left[0\right]$	$\left[0\right]$	$\left[0\right]$	$\left[0\right]$	$\left[0\right]$
$\left[1\right]$	$\left[0\right]$	$\left[1\right]$	$\left[2\right]$	$\left[3\right]$	$\left[4\right]$	$T$
$\left[2\right]$	$\left[0\right]$	$\left[2\right]$	$\left[4\right]$	$\left[1\right]$	$\left[3\right]$	$T$
$\left[3\right]$	$\left[0\right]$	$\left[3\right]$	$\left[1\right]$	$\left[4\right]$	$\left[2\right]$	$T$
$\left[4\right]$	$\left[0\right]$	$\left[4\right]$	$\left[3\right]$	$\left[2\right]$	$\left[1\right]$	$T$

From the table, it is observed that$\left[\mathrm{a}\right]\odot x=\left[1\right]$; the solution is$\left[a\right]\in \left\{\left[1\right],\left[2\right],\left[3\right],\left[4\right]\right\}$.

Find the solution (b)

Make the table as:

$\left[a\right]$	$\left[a\right]\odot \left[0\right]$	$\left[a\right]\odot \left[1\right]$	$\left[a\right]\odot \left[2\right]$	$\left[a\right]\odot \left[3\right]$
$\left[0\right]$	$\left[0\right]$	$\left[0\right]$	$\left[0\right]$	$\left[0\right]$
$\left[1\right]$	$\left[0\right]$	$\left[1\right]$	$\left[2\right]$	$\left[3\right]$	$T$
$\left[2\right]$	$\left[0\right]$	$\left[2\right]$	$\left[0\right]$	$\left[2\right]$
$\left[3\right]$	$\left[0\right]$	$\left[3\right]$	$\left[2\right]$	$\left[1\right]$	$T$

From the table, it is observed that $\left[\mathrm{a}\right]\odot x=\left[1\right]$ ; the solution is$\left[\mathrm{a}\right]=\left\{\left[1\right],\left[3\right]\right\}$

 Find the solution (c)

Make the table as:

$\left[a\right]$	$\left[a\right]\odot \left[0\right]$	$\left[a\right]\odot \left[1\right]$	$\left[a\right]\odot \left[2\right]$
$\left[0\right]$	$\left[0\right]$	$\left[0\right]$	$\left[0\right]$
$\left[1\right]$	$\left[0\right]$	$\left[1\right]$	$\left[2\right]$	$T$
$\left[2\right]$	$\left[0\right]$	$\left[2\right]$	$\left[1\right]$	$T$

From the table, it is observed that $\left[\mathrm{a}\right]\odot x=\left[1\right]$, the solution is$\left[a\right]=\left\{\left[1\right],\left[2\right]\right\}$

Find the solution (d)

$\left[a\right]$	$\left[a\right]\odot \left[0\right]$	$\left[a\right]\odot \left[1\right]$	$\left[a\right]\odot \left[2\right]$	$\left[a\right]\odot \left[3\right]$	localid="1648069128253" $\left[a\right]\odot \left[4\right]$	$\left[a\right]\odot \left[5\right]$
$\left[0\right]$	$\left[0\right]$	localid="1648069323883" $\left[0\right]$	localid="1648070104511" $\left[0\right]$	$\left[0\right]$	$\left[0\right]$	$\left[0\right]$
$\left[1\right]$	$\left[0\right]$	$\left[1\right]$	$\left[2\right]$	$\left[3\right]$	$\left[4\right]$	$\left[5\right]$	$T$
$\left[2\right]$	$\left[0\right]$	$\left[2\right]$	localid="1648070165031" $\left[4\right]$	$\left[0\right]$	$\left[2\right]$	$\left[4\right]$
localid="1648068852319" $\left[3\right]$	$\left[0\right]$	$\left[3\right]$	$\left[0\right]$	$\left[3\right]$	$\left[0\right]$	$\left[3\right]$
$\left[4\right]$	$\left[0\right]$	$\left[4\right]$	$\left[2\right]$	$\left[0\right]$	$\left[4\right]$	$\left[2\right]$
$\left[5\right]$	$\left[0\right]$	$\left[5\right]$	$\left[4\right]$	$\left[3\right]$	$\left[2\right]$	$\left[1\right]$	$T$

From the table, it is observed that $\left[\mathrm{a}\right]\odot x=\left[1\right]$, the solution is$\left[a\right]=\left\{\left[1\right],\left[5\right]\right\}$