Question

(a) Proceed as in Example $\mathbf{6}$to show that${\mathbf{xJ}}_{\mathbf{v}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{-}{\mathbf{vJ}}_{\mathbf{v}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{+}{\mathbf{xJ}}_{\mathbf{v}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}$.

(b) Use the result in part (a) to derive$\left(23\right)$.

Short answer

(a) Hence showed that${\mathrm{xJ}}_{\mathrm{v}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{xJ}}_{\mathrm{v}-1}\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{vJ}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)$.

(b) The required equation is $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[{\mathrm{x}}^{\mathrm{v}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)\right]={\mathrm{x}}^{\mathrm{v}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}-1}\left(\mathrm{x}\right)$.

Step-by-step solution

Define differential recurrence relation.

Recurrence formulas that relate Bessel functions of different orders are important in theory and in applications.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[{\mathrm{x}}^{\mathrm{v}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)\right]={\mathrm{x}}^{\mathrm{v}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}-1}\left(\mathrm{x}\right)$

Derive the function xJv'(x)=-vJv(x)+xJv-1(x).

(a)

Let the function be,${\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}!\mathrm{\Gamma }(1+\mathrm{v}+\mathrm{n})}{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+\mathrm{v}}$.

The first derivative of the function is,

$\begin{array}{c}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}\times \frac{1}{2}\left(2\right(\mathrm{n}+\mathrm{v})-\mathrm{v})}{\mathrm{n}!\mathrm{\Gamma }(1+\mathrm{v}+\mathrm{n})}{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+\mathrm{v}-1}\\ =\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}\times \left((\mathrm{n}+\mathrm{v})-\frac{1}{2}\mathrm{v}\right)}{\mathrm{n}!\mathrm{\Gamma }(1+\mathrm{v}+\mathrm{n})}{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+\mathrm{v}-1}\\ =\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}\times (\mathrm{n}+\mathrm{v})}{\mathrm{n}!\mathrm{\Gamma }(1+\mathrm{v}+\mathrm{n})}{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+\mathrm{v}-1}+\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}\times \left(-\frac{1}{2}\mathrm{v}\right)}{\mathrm{n}!\mathrm{\Gamma }(1+\mathrm{v}+\mathrm{n})}{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+\mathrm{v}-1}\\ =\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}\times (\mathrm{n}+\mathrm{v})}{\mathrm{n}!(\mathrm{n}+\mathrm{v})\mathrm{\Gamma }(\mathrm{v}+\mathrm{n})}{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+\mathrm{v}-1}-\mathrm{v}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}\times \left(\frac{1}{2}\right)}{\mathrm{n}!\mathrm{\Gamma }(1+\mathrm{v}+\mathrm{n})}{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+\mathrm{v}-1}\\ =\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}\times }{\mathrm{n}!\mathrm{\Gamma }(\mathrm{v}+\mathrm{n})}{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+\mathrm{v}-1}-\mathrm{v}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}\times \left(\frac{1}{2}\right)}{\mathrm{n}!\mathrm{\Gamma }(1+\mathrm{v}+\mathrm{n})}{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+\mathrm{v}-1}\end{array}$

Then, multiply the above equation with $\mathrm{x}$.

$\begin{array}{c}{\mathrm{xJ}}_{\mathrm{v}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}\times }{\mathrm{n}!\mathrm{\Gamma }(\mathrm{v}+\mathrm{n})}{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+\mathrm{v}-1}-\mathrm{vx}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}\times \left(\frac{1}{2}\right)}{\mathrm{n}!\mathrm{\Gamma }(1+\mathrm{v}+\mathrm{n})}{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+\mathrm{v}-1}\\ =\mathrm{x}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}.}{\mathrm{n}!\mathrm{\Gamma }(1+(\mathrm{v}-1)+\mathrm{n})}{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+(\mathrm{v}-1)}-\mathrm{v}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}.}{\mathrm{n}!\mathrm{\Gamma }(1+\mathrm{v}+\mathrm{n})}\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right){\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+\mathrm{v}-1}\\ ={\mathrm{xJ}}_{\mathrm{v}-1}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{v}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}\times }{\mathrm{n}!\mathrm{\Gamma }(1+\mathrm{v}+\mathrm{n})}{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+\mathrm{v}}\end{array}$

${\text{xJ}}_{\mathrm{v}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{xJ}}_{\mathrm{v}-1}\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{vJ}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right).......\left(1\right)$

Derive the required function

(b)

From (1), the equation becomes,

${\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}-1}\left(\mathrm{x}\right)-\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{x}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)$

${\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{J}}_{\mathrm{v}-1}\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{vx}}^{-1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)$… (2)

Then,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[{\mathrm{x}}^{\mathrm{v}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[{\mathrm{x}}^{\mathrm{v}}\right]{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)+{\mathrm{x}}^{\mathrm{v}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)\right]$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[{\mathrm{x}}^{\mathrm{v}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)\right]={\mathrm{vx}}^{\mathrm{v}-1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)+{\mathrm{x}}^{\mathrm{v}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)$ … (3)

Substitute the equation (2) into (3) yields,

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[{\mathrm{x}}^{\mathrm{v}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)\right]={\mathrm{vx}}^{\mathrm{v}-1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)+{\mathrm{x}}^{\mathrm{v}}\left[{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}-1}\left(\mathrm{x}\right)-\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{x}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)\right]\\ ={\mathrm{vx}}^{\mathrm{v}-1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)+{\mathrm{x}}^{\mathrm{v}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}-1}\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{vx}}^{\mathrm{v}-1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[{\mathrm{x}}^{\mathrm{v}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{x}\right)\right]={\mathrm{x}}^{\mathrm{v}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{v}-1}\left(\mathrm{x}\right)\end{array}$