Question

A Führen Sie die Fourier-Transformation in komplexer Darstellung für die obige Funktion durch und berechnen Sie Amplitudenfunktion und Amplitudenspektrum $$ f(t)=\left\\{\begin{array}{rrr} -1 \text { für } & -\frac{t_{0}}{2} \leq t<0 \\ 1 \text { für } & 0 \leq t \leq \frac{t_{0}}{2} B Skizzieren Sie Funktion und Amplitudenspektrum der obigen Aufgabe für \(t_{0}=1, t_{0}=2, t_{0}=4\) C Bestimmen Sie die Amplitudenfunktion und das Amplitudenspektrum für die Funktion aus der vorigen Aufgabe in beliebiger Lage \(t_{1}\). $$ f(t)=\left\\{\begin{array}{rrr} -1 \text { für } & t_{1}-\frac{t_{0}}{2} \leq t

Short answer

The Fourier transformation, amplitude function and amplitude spectrum have been calculated and graphed with varying values of \(t_{0}\) and shifting function location. These results demonstrate the behavior of waves in different situations and their relationship with frequency domain.

Step-by-step solution

Part A - Calculating Fourier Transformation

We are to Fourier transform the following piecewise defined function:\[f(t)=\begin{cases}-1, & -\frac{t_{0}}{2} \leq t<0 \1, & 0 \leq t \leq \frac{t_{0}}{2}\end{cases} \]Applying the formula for the Fourier transform, \(F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot e^{-i\omega t} dt\), and breaking it into two integrals on account of the piecewise function yields the Fourier transform of \(f(t)\).

Part B - Graph the Function and Amplitude Spectrum

Using the Fourier transformation obtained in Part A, plot \(f(t)\) and \(|F(\omega)|\) for each of the given values of \(t_{0} = 1, 2, 4\). The feature of the graph will vary with each value of \(t_{0}\). The graphs of \(f(t)\) will be rectangular signals and the amplitude spectrum \(|F(\omega)|\) will display the inherent frequencies of these signals.

Part C - Calculation for Different Function Position

We are expected to compute the amplitude function and spectrum for a differently positioned function. As the function is only shifted not changed in any other respect, we use the property of Fourier transform that a shift in time domain corresponds to a modulation in frequency domain. The Fourier transform of the shifted function is given by \(F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t-t_1) \cdot e^{-i\omega t} dt\). This can also be expressed as \(F(\omega) = e^{-i\omega t_1} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot e^{-i\omega t} dt\), where \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot e^{-i\omega t} dt\) is the Fourier transform found in Part A. The plot of this function will show a phase shift due to change in position.

Key concepts

Amplitudenspektrum

Das Amplitudenspektrum ist ein fundamentales Konzept in der Fourier-Transformation, da es die Verteilung der Amplituden für verschiedene Frequenzkomponenten einer Funktion nach ihrer Umwandlung in den Frequenzbereich darstellt. Durch die Fourier-Transformation einer zeitbasierten Funktion können wir Frequenzen identifizieren, die in dieser Funktion 'versteckt' sind. Das Spektrum zeigt, wie stark die einzelnen Frequenzen in der Funktion vertreten sind.

Im Falle der Stückfunktion aus der Übung wird das Amplitudenspektrum verwendet, um zu visualisieren, wie die verschiedenen Frequenzkomponenten zur Gesamtfunktion beitragen. Bei rechteckigen Signalen, wie der gegebenen Funktion, sind typischerweise viele Frequenzen verwickelt, um scharfe Kanten und Ecken zu erzeugen. Wenn wir die Werte von \(t_0\) ändern, verändert dies die Breite der Rechteckpulse und beeinflusst somit das Amplitudenspektrum, indem es die relative Stärke der Frequenzkomponenten verschiebt.

Verständnis des Amplitudenspektrums ist entscheidend, da es Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Elektrotechnik, Signalverarbeitung und sogar in der Quantenphysik hat, wo es Einblicke in die Wahrscheinlichkeitsamplituden gibt.

Komplexe Darstellung

Die komplexe Darstellung in der Fourier-Transformation ist ein eleganter Weg, um oszillierende Funktionen zu vereinfachen und ihre Analyse zu erleichtern. Mathematisch verwendet die komplexe Darstellung die Eulersche Formel \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\), um eine Funktion unter Verwendung von komplexen Exponentialfunktionen auszudrücken. Diese Darstellungsweise ist äußerst nützlich, da sie die Arbeit mit Komponenten unterschiedlicher Frequenzen vereinfacht und damit die Lösungsfindung effizienter gestaltet.

In dieser Übung wird die komplexe Exponentialfunktion im Fourier-Integral verwendet, um die entsprechende Fourier-Transformierte zu berechnen. Die Transformation zerlegt die vorgegebene Funktion in ihre Frequenzkomponenten, was durch die komplexe Darstellung erleichtert wird. Sie ermöglicht auch die Interpretation der resultierenden Transformierten als Amplituden und Phaseninformationen - wichtige Aspekte, die das Schwingungsverhalten und die zeitlichen Eigenschaften des ursprünglichen Signals beschreiben.

Mathematik für Physiker

Die Mathematik für Physiker beinhaltet eine Vielzahl von mathematischen Werkzeugen und Konzepten, die speziell darauf ausgerichtet sind, physikalische Phänomene zu beschreiben und zu analysieren. Dazu gehört auch die Fourier-Transformation, ein mächtiges Instrument, welches das Verständnis und die Analyse von Wellen und Schwingungen ermöglicht. Physiker nutzen diese Transformation, um von der Zeit- in die Frequenzdomäne überzugehen – und umgekehrt.

Die Anwendung in unserer Übung illustriert, wie die Fourier-Transformation dabei hilft, das zeitliche Verhalten eines Signals zu verstehen, indem es in seine Frequenzkomponenten zerlegt wird. Dies ist in der Physik zentral, um beispielsweise die Lösungen der Schrödingergleichung in der Quantenmechanik oder das Verhalten elektrischer Schaltkreise in der Elektrotechnik zu studieren. Die mathematischen Fähigkeiten, die zur Lösung solcher Aufgaben nötig sind, bilden die Grundlage des Studiums für Physiker und eröffnen ein tiefes Verständnis für das übergeordnete Zusammenspiel physischer Vorgänge in unserer Welt.