Question

Geben Sie die Fourierreihe der Funktion \(f(t)\) an, die im Intervall von \(-\pi\) bis \(+\pi\) definiert ist durch $$ f(t)=\left\\{\begin{array}{lll} 0 & \text { für } & -\pi \leq t<-\frac{\pi}{2} \\ 1 & \text { für } & -\frac{\pi}{2} \leq t<\frac{\pi}{2} \\ 0 & \text { furr } & \frac{\pi}{2} \leq t \leq \pi \end{array}\right. $$

Short answer

The Fourier series for the function \(f(t)\) is \(f(t) = \frac{1}{2} + \sum_{i=1}^{\infty} [{(1-n\pi\sin(n\pi)+\sin(n\pi))/\pi} \cos(count)]\) for \(-\pi \leq t \leq \pi\).

Step-by-step solution

Start with the definitions

The Fourier series of a function \(f(t)\) is given by \(a_0 + \sum_{i=1}^{\infty} [(a_n \cos(n t) + b_n \sin(n t))]\), where \(a_0= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(t) dt\), \(a_n= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(t) \cos(nt) dt\), and \(b_n= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(t) \sin(nt) dt\) for n=1,2,3...

Calculate the Fourier coefficients

For \(a_0\), we get \(a_0= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(t) dt = \frac{1}{2\pi} [ \int_{-\pi}^{-\pi/2} 0 dt + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 dt + \int_{\pi/2}^{\pi} 0 dt] = \frac{1}{2}\).\n\nAs the function \(f(t)\) is even in the given interval, all \(b_n\) coefficients will be zero.\n\nThe \(a_n\) coefficients are \(a_n= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(t) \cos(nt) dt = \frac{1}{\pi} [ \int_{-\pi}^{-\pi/2} 0 \cos(nt) dt + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 \cos(nt) dt + \int_{\pi/2}^{\pi} 0\cos(nt) dt] = {(1-n\pi\sin(n\pi)+\sin(n\pi))}/{n\pi}\).

Form the Fourier series

The Fourier series of \(f(t)\) becomes \(f(t) = \frac{1}{2} + \sum_{i=1}^{\infty} [{(1-n\pi\sin(n\pi)+\sin(n\pi))/\pi} \cos(count)]\) for \(-\pi \leq t \leq \pi\).

Key concepts

Fourierkoeffizienten

Die Fourier-Koeffizienten sind grundlegende Bestandteile in der Analyse periodischer Funktionen und spielen eine wesentliche Rolle bei der Formulierung einer Fourierreihe. Diese Koeffizienten, typischerweise mit den Buchstaben \(a_n\) und \(b_n\) bezeichnet, werden verwendet, um die unterschiedlichen Frequenzanteile einer Funktion zu gewichten.

Die Berechnung der Fourier-Koeffizienten basiert auf der Annahme, dass jede periodische Funktion als Summe von Sinus- und Kosinuswellen mit unterschiedlichen Frequenzen ausgedrückt werden kann. Für die Koeffizienten \(a_n\) nutzt man Kosinusfunktionen, während Sinusfunktionen für die Koeffizienten \(b_n\) verwendet werden. Im betrachteten Beispiel ist die Ziel-Funktion eine gerade Funktion, was bedeutet, dass alle \(b_n\)-Koeffizienten null sind, weil die Sinuskomponenten, die ungerade sind, in der symmetrischen Funktion keinen Beitrag leisten.

Die Formel für \(a_0\), den durchschnittlichen Wert der Funktion über eine Periode, ist \(a_0= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(t) dt\), was das Integral der Funktion über eine volle Periode darstellt. Die \(a_n\)-Koeffizienten werden für \(n=1,2,3,...\) berechnet und sind definiert als \(a_n= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(t) \cos(nt) dt\), was das Integral der Funktion multipliziert mit der Kosinuswelle der jeweiligen Frequenz \(n\) über eine Periode ist. Diese Koeffizienten sind entscheidend, da sie die Amplitude der entsprechenden Kosinuswelle in der Fourierreihe angeben.

Fourierserie von Funktionen

Die Fourierserie ist ein mächtiges Werkzeug, um komplizierte periodische Funktionen mit Hilfe von Sinus- und Kosinuswellen zu repräsentieren. Das Beispiel aus der Aufgabe zeigt eine periodische Funktion, die durch eine Fourierserie dargestellt wird. Das besondere Merkmal dieser Reihe ist die Tatsache, dass sie eine Summe unendlich vieler Glieder ist, die von den Fourier-Koeffizienten \(a_n\) und \(b_n\) gewichtet werden.

Für jede Frequenz \(n\) kombinieren die Terme \(a_n \cos(n t)\) und \(b_n \sin(n t)\) sich zu einem Signal, das der Ursprungsfunktion \(f(t)\) in der Frequenz \(n\) entspricht. Die Fourierserie kann damit dazu verwendet werden, die Frequenzkomponenten einer Funktion zu analysieren oder zu rekonstruieren.

Weitere Berechnung von Fourier-Koeffizienten

Wie in der Lösung dargestellt, beinhaltet das Berechnen der Fourier-Koeffizienten verschiedene Integrale, welche die Funktion \(f(t)\) mit trigonometrischen Funktionen multiplizieren und über eine Periode integrieren. Dies spiegelt die Zerlegung der Funktion in ihre Frequenzkomponenten wider und ist ein zentraler Schritt, um zur vollständigen Fourierserie zu gelangen.

Liegt eine komplexere Funktion vor, kann dies zu komplizierten Integralen führen und erfordert möglicherweise erweiterte Integrationstechniken oder sogar numerische Methoden.

Mathematische Physik

Die Fourieranalyse spielt eine wesentliche Rolle in der mathematischen Physik, da viele physikalische Systeme periodische oder quasiperiodische Phänomene aufweisen. Fourierreihen ermöglichen es Physikern, solche Systeme zu modellieren, ihr Verhalten zu verstehen und Vorhersagen zu treffen.

Beispielsweise sind in der Quantenmechanik Wellenfunktionen von zentraler Bedeutung, und Fourier-Transformationen helfen dabei, den Übergang zwischen dem Orts- und Impulsraum zu beschreiben. In der Elektrodynamik werden Fourier-Transformationen verwendet, um elektromagnetische Wellen in ihre Frequenzbestandteile zu zerlegen, was für das Verständnis und die Anwendung in Bereichen wie der Radiotechnik oder der Optik unerlässlich ist.

Das Schöne an der Fourieranalyse in der mathematischen Physik ist, dass sie nicht nur ein theoretisches Konstrukt ist, sondern durch experimentelle Daten bestätigt werden kann. Mit Spektrometern, beispielsweise, können Physiker die Frequenzanteile eines Signals messen und dadurch die Gültigkeit einer berechneten Fourierreihe bestätigen.