Question

Berechnen Sie den FluB der Vektorfelder \(\vec{F}\) durch die Kugeloberfläche mit Radius \(R=2\) (Kugelmittelpunkt \(=\) Koordinatenursprung) a) \(\vec{F}(x, y, z)=3 \frac{(x, y, z)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) b) \(\vec{F}(x, y, z)=\frac{(x, y, z)}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\)

Short answer

The short answer consists of the numeric final values obtained through calculating the integrals in the final steps for both a and b separately.

Step-by-step solution

Identify the Divergence

The first step is to identify the divergence of the vector fields. The divergence to any vector field \(\vec{F}(x, y, z) = P(x, y, z) \hat{i} + Q(x, y, z) \hat{j} + R(x, y, z) \hat{k}\) is given by: \(\nabla • \vec{F} = \frac{∂P}{∂x} + \frac{∂Q}{∂y} + \frac{∂R}{∂z}\). Apply this formula for both given vector fields (a and b) separately.

Perform the Volume Integral

Taking into consideration the divergence theorem, the flux through the surface of the sphere can be evaluated as the volume integral of the divergence of \(\vec{F}\) over the volume enclosed by the surface. The volume integral consists of the divergence of \(\vec{F}\), multiplied by the volume \(dv = dx dy dz\), and finally integrated over the volume of the sphere. Use spherical coordinates \((r, θ, φ)\) to simplify the calculation.

Evaluate the Integrals

The final step involves evaluating the spherical volume integrals. This includes integrating with respect to all spherical coordinates from their respective limits. The limits of the radial coordinate \(r\) are from 0 to \(R=2\), the azimuthal coordinate \(φ\) limits are from 0 to \(2π\), and the polar coordinate \(θ\) limits are from 0 to \(π\). Evaluate these integrals to get the flux through the sphere's surface for both parts a and b separately.

Key concepts

Vektorfelder

Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt im Raum einen Vektor zu. In der Physik beschreiben Vektorfelder zum Beispiel die Geschwindigkeit einer strömenden Flüssigkeit in jedem Punkt des Raumes oder das elektrische Feld rund um eine Ladung. Mathematisch wird ein Vektorfeld im dreidimensionalen Raum durch eine Funktion \(\vec{F}(x, y, z)\) dargestellt, die jedem Punkt \( (x, y, z) \) einen Vektor \((P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))\) zuweist.

In den Übungsaufgaben a) und b) sind zwei verschiedene Vektorfelder gegeben. Beispielsweise ist im Fall a) das Vektorfeld \(\vec{F}\) proportional zum Ortsvektor \((x, y, z)\) und umgekehrt proportional zum Quadrat seiner Länge. Solche Felder könnten die Gravitations- oder elektrischen Felder um eine Punktmasse oder Ladung in ihrem jeweiligen Abstand darstellen.

Divergenz eines Vektorfelds

Die Divergenz eines Vektorfelds ist ein Maß für die Quellstärke oder Senkstärke eines Feldes in einem Punkt. Sie gibt an, wie viel Feld aus einem infinitesimal kleinen Volumen heraus- oder hineinfließt. Die Divergenz wird mathematisch durch den Operator \(abla \cdot \vec{F}\) ausgedrückt und entspricht der Summe der partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen des Vektorfelds nach ihren jeweiligen Koordinaten.

In unserem Beispiel des Vektorfelds aus a) lautet die Divergenz \(abla \cdot \vec{F} = \frac{∂P}{∂x} + \frac{∂Q}{∂y} + \frac{∂R}{∂z}\), wobei \(abla\) der Nabla-Operator ist und \(abla \cdot \vec{F}\) die Skalarfunktion, die die Divergenz darstellt. Die Divergenz zu berechnen ist der erste Schritt, um die Aufgabenstellung zu lösen.

Volumenintegral

Ein Volumenintegral erweitert das Konzept des herkömmlichen Integrals auf drei Dimensionen. Anstatt über eine Kurve oder Fläche zu integrieren, integriert man über ein Volumen. Mathematisch ausgedrückt wird das Integral über eine Region V des Raumes mit einem Volumenelement \(dv\) und bildet damit die Summe der Werte einer Funktion über diesen Bereich.

Im Kontext von Aufgabenteil a) und b) verwenden wir das Volumenintegral, um den so genannten Fluss des Vektorfelds \(abla \cdot \vec{F}\) durch die Oberfläche der Kugel zu berechnen. Hierbei kommt auch das Divergenztheorem zum Einsatz, welches besagt, dass der Fluss eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Oberfläche dem Volumenintegral der Divergenz des Feldes über das umschlossene Volumen entspricht. Daher ist der nächste Schritt, das Volumenintegral der Divergenz über das Volumen der Kugel zu berechnen, um den gesamten Fluss zu ermitteln.

Sphärische Koordinaten

Sphärische Koordinaten sind ein Koordinatensystem in drei Dimensionen, das besonders nützlich ist, um Probleme mit Kugelsymmetrie zu lösen. Anstelle von kartesischen Koordinaten ((x, y, z)N), die Längen entlang der Achsen beschreiben, definieren sphärische Koordinaten ((r, theta, phi)N) die Position eines Punktes durch seine Entfernung vom Ursprung (rN), den Winkel von der positiven z-Achse (theta, Polarwinkel) und den Winkel von der positiven x-Achse in der xy-Ebene (phi, Azimutwinkel).

Das Volumenelement in sphärischen Koordinaten wird durch \(dv = r^{2} \sin(\theta) \, dr \, dθ \, dφ\) ausgedrückt. Diese Umstellung erleichtert die Integration, wenn die Symmetrie des Problems – wie in unserem Fall eine Kugel – dafür geeignet ist. Durch die Umrechnung des zuvor berechneten Volumenintegrals von kartesischen in sphärische Koordinaten können wir die Integration vereinfachen und dadurch auch die Lösung der Aufgaben a) und b) effizienter gestalten.