Question

Berechnen Sie für das Vektorfeld $\overrightarrow{A}(x,y,z)=(0,-z,y)$ das Linienintegral längs der Kurve $\overrightarrow{r}(t)=(\sqrt{2}\cos t,\cos 2t,\frac{2t}{\pi })$ von $t=0$ bis $t=\frac{\pi }{2}$.

Short answer

The line integral along the curve is given by ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(4t\sin 2t+\frac{2\cos 2t}{\pi })dt$. To get the final numeric result, this integral needs to be calculated.

Step-by-step solution

Calculating the derivative of the curve vector

The derivative of the curve vector $\overrightarrow{r}(t)=(\sqrt{2}\cos t,\cos 2t,\frac{2t}{\pi })$ is given by $\overrightarrow{r^{\prime }}(t)=(-\sqrt{2}\sin t,-2\sin 2t,\frac{2}{\pi })$.

Evaluating the vector field along the curve

We now evaluate the vector field $\overrightarrow{A}(x,y,z)=(0,-z,y)$ along the curve given by $\overrightarrow{r}(t)$. Setting $x=\sqrt{2}\cos t$, $y=\cos 2t$, and $z=\frac{2t}{\pi }$, we get $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}(t))=(0,-\frac{2t}{\pi },\cos 2t)$.

Calculating the dot product of $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}(t))$ and $\overrightarrow{r^{\prime }}(t)$

The dot product of $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}(t))$ and $\overrightarrow{r^{\prime }}(t)$ is given by $0\ast (-\sqrt{2}\sin t)+(-\frac{2t}{\pi }\ast (-2\sin 2t))+(\cos 2t\ast \frac{2}{\pi })$. Simplifying this expression gives $4t\sin 2t+\frac{2\cos 2t}{\pi }$.

Calculating the line integral

The line integral is the integral from $t=0$ to $t=\frac{\pi }{2}$ of the dot product obtained in the previous step. This integral is given by ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(4t\sin 2t+\frac{2\cos 2t}{\pi })dt$. Solving this integral will give us the final result.

Key concepts

Vektorfeld

Ein Vektorfeld ist eine Funktion, die jedem Punkt in einem Raum einen Vektor zuordnet. In unserem Beispiel ist das Vektorfeld $\overrightarrow{A}(x,y,z)=(0,-z,y)$ gegeben. Dies bedeutet, dass an jedem Punkt mit den Koordinaten $(x,y,z)$ das Vektorfeld einen Vektor bereitstellt, der aus diesen Koordinaten entsprechend der gegebenen Funktion konstruiert ist.

Das Verständnis von Vektorfeldern ist grundlegend um das Konzept des Linienintegrals auf Vektorfelder anwenden zu können. In der Physik repräsentieren Vektorfelder häufig physikalische Größen wie Geschwindigkeitsfelder in Flüssigkeiten oder elektromagnetische Felder in der Raumzeit. Die Eigenschaften des Vektorfelds, welche unter anderem Strömungsmuster und Richtungsstärken umfassen, sind dabei essentiell für die Analyse von Zusammenhängen in verschiedenen Anwendungen.

Kurvenintegral

Das Kurvenintegral ist ein wichtiges Werkzeug, um die Arbeit zu berechnen, die aufgewendet wird, um ein Teilchen entlang einer Kurve in einem gegebenen Vektorfeld zu bewegen. Es summiert im Wesentlichen die Werte des Vektorfeldes entlang der Kurve über ihre gesamte Länge.

Die Berechnung eines Kurvenintegrals, besteht typischerweise aus drei Schritten:

• Evaluation des Vektorfeldes entlang der Kurve,
• Berechnung des Skalarproduktes zwischen dem Vektorfeld und der Ableitung der Kurve,
• Integration dieses Produktes entlang der Kurve von einem Start- bis zu einem Endpunkt.

Es wird oft dazu verwendet, um komplexe physikalische Prozesse zu verstehen, bei denen Kräfte entlang einer Bewegungspfad wirken. Im Fall unseres Beispiels ergibt sich das Kurvenintegral durch die Integration des Skalarprodukts entlang der gegebenen Parameterdarstellung der Kurve vom Punkt $t=0$ bis $t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt, auch Punktprodukt genannt, ist eine mathematische Operation, die zwei Vektoren nimmt und eine einzige Zahl (Skalar) produziert. In der geometrischen Interpretation ist das Skalarprodukt das Produkt der Beträge der beiden Vektoren und des Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Zur Berechnung des Skalarproduktes $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}$ nimmt man die entsprechenden Komponenten der Vektoren $\overrightarrow{A}$ und $\overrightarrow{B}$ und summiert die Produkte der jeweiligen Komponenten: $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=A_x{B}_x+A_y{B}_y+A_z{B}_z$. Dieser Prozess wurde im Schritt 3 angewendet, um das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}(t))$ und $\overrightarrow{r^{\prime }}(t)$ zu ermitteln. Das Resultat ist ein Skalar, der dann in das Kurvenintegral eingesetzt wird.

Parameterdarstellung einer Kurve

Die Parameterdarstellung einer Kurve ist eine Art, Kurven durch Gleichungen zu beschreiben, wobei ein Parameter verwendet wird, um die Positionen auf der Kurve zu kennzeichnen. In unserem Kontext wird die Kurve $\overrightarrow{r}(t)$ durch die Funktion $\overrightarrow{r}(t)=(\sqrt{2}\cos t,\cos 2t,\frac{2t}{\pi })$ beschrieben, wobei $t$ der Parameter ist.

Die Parameterdarstellung gestattet eine einfache Beschreibung der Form einer Kurve und ihres Verhaltens in drei Dimensionen. Es ermöglicht auch eine einfache Berechnung abgeleiteter Konzepte wie der Tangente an die Kurve oder, wie in unserem Fall, des Kurvenintegrals. Der Parameter $t$ wird hier von $0$ bis $\frac{\pi }{2}$ variiert, was den Bereich der Kurve angibt, über den das Integral genommen wird. Für das Kurvenintegral ist es notwendig, das Vektorfeld entlang der durch die Parameterdarstellung beschriebenen Kurve zu evaluieren und dann die entsprechenden Integrationsschritte durchzuführen.