Question

a) Berechnen Sie den Wert des Intergrals \(\int_{x=0}^{2} \int_{y=x-1}^{3 x} x^{2} d x d y\) b) Berechnen Sie das Dreifachintegral \(\int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{2 x} \int_{z=0}^{x+y} d x d y d z\) Achten Sie auf die Reihenfolge der Integrationen! c) Berechnen Sie das Trägheitsmoment \(\theta\) einer Kugel mit dem Radius \(R\) und konstanter Dichte \(\rho\). Die Drehachse geht durch den Kugelmittelpunkt. Benutzen Sie Kugelkoordinaten. Hilfe: Das Integral \(\int_{0}^{\pi} \sin ^{3} \vartheta d \vartheta\) hat den Wert \(\frac{4}{3}\).

Short answer

a) \( \frac{16x}{3} - \frac{8}{3} \), b) \( \frac{4}{3} \), c) \( \frac{8}{15} \pi \rho R^5 \)

Step-by-step solution

Solution for Task a)

We start by integrating with respect to x: \( \int_0^2 x^2 dx \). This gives us \( \frac{1}{3} x^3 | _{0}^{2} \), which simplifies to \( \frac{8}{3} \). Next we integrate with respect to y: \( \int_{x-1}^{3x} \frac{8}{3} dy \). This gives us \( \frac{8}{3 y} | _{x-1}^{3x} \) , which simplifies to \( \frac{16x}{3} - \frac{8}{3} \).

Solution for Task b)

We start by integrating with respect to z: \( \int_0^{x+y} dz \). This gives \( z | _0^{x+y} \), which simplifies to \( x + y \). Next we integrate with respect to y: \( \int_0^{2x} (x+y) dy \). This gives \( xy + \frac{1}{2} y^2 | _0^{2x} \), which simplifies to \( 2x^2 + 2x^2 = 4x^2 \). Finally, we integrate with respect to x: \( \int_0^{1} 4x^2 dx \). This gives \( \frac{4}{3} x^3 | _0^{1} \), which simplifies to \( \frac{4}{3} \).

Solution for Task c)

The inertia moment of a sphere is given by \( \int \rho r^2 dV \). In spherical coordinates, \( dV = r^2 sin\vartheta d\vartheta d\phi dr \). The density \(\rho\) is constant, so it can be factored out. The inertia moment then becomes \( \int_0^R \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \rho r^4 sin\vartheta d\vartheta d\phi dr \). This triple integral can be calculated one integral at a time. With the provided hint, we can first calculate the \(\vartheta\) integral, which gives \(\frac{4}{3}\). The integral then simplifies to \( \int_0^R \int_0^{2\pi} \rho r^4 \frac{4}{3} d\phi dr \). This results, using the \(2\pi\) with respect to phi, in \( \int_0^R \rho r^4 \frac{8\pi}{3} dr \). Calculating these remaining integrals gives us the inertia moment of the sphere: \(\theta = \frac{8\pi \rho r^5}{15} | _0^R\), which simplifies to \(\theta = \frac{8}{15} \pi \rho R^5\).

Key concepts

Mehrfachintegrale

Mehrfachintegrale, auch als Mehrdimensionale Integrale bekannt, sind ein wesentlicher Bestandteil der höheren Mathematik und haben vielfältige Anwendungen in der Physik und Technik. Sie stellen eine Erweiterung des eindimensionalen Integrals auf mehrere Dimensionen dar. Ein Doppelintegral beispielsweise, wie in der Aufgabe a) gezeigt, wird über ein zweidimensionales Gebiet ausgeführt, während ein Dreifachintegral über ein dreidimensionales Volumen integriert wird, wie in Aufgabe b) dargestellt.

Um solche Integrale zu berechnen, wird die Integration schrittweise für jede Variable durchgeführt. Dies erfordert Aufmerksamkeit bei der Wahl der Grenzen für jedes Integral, die von den anderen Variablen abhängen können. Hierbei ist es entscheidend, die korrekte Reihenfolge der Integration einzuhalten, wobei jede Integration das Ergebnis der vorherigen beeinflussen kann.

Die in den Schritten gezeigte Herangehensweise verdeutlicht, wie man zuerst über die innerste Variable integriert und dann schrittweise nach außen geht, wobei man von der innersten zur äußersten Integration fortfährt. Es zeigt sich, dass die Integration über eine Variable zu einer Funktion der anderen führt, die dann weiter integriert wird. In der Praxis werden Mehrfachintegrale oft genutzt, um physikalische Größen wie Masse, Ladung oder eben das Trägheitsmoment zu berechnen.

Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment, welches in Aufgabe c) berechnet wird, ist ein zentraler Begriff in der Dynamik der Rotation starrer Körper. Es beschreibt den Widerstand eines Körpers gegenüber der Änderung seines Rotationszustandes. Je größer das Trägheitsmoment, desto schwerer ist es, einen Körper zu beschleunigen oder abzubremsen.

Mathematisch wird das Trägheitsmoment durch Integration der Massenverteilung des Körpers über das Quadrat des Abstands zur Drehachse berechnet. In der gegebenen Aufgabe wird die Dichte \rho als konstant angenommen, was die Berechnung erheblich vereinfacht, da sie als Faktor vor das Integral gezogen werden kann. Bei der Integration in Kugelkoordinaten wird die Masse durch die Dichte und das Volumenelement \(dV\) ausgedrückt, wobei \(dV\) aufgrund der Kugelsymmetrie als \(r^2 \text{sin}\vartheta d\text{\vartheta} d\text{\phi} dr\) definiert wird.

Die Schritte zur Berechnung des Trägheitsmoments veranschaulichen, dass die Komplexität eines solchen Integrals durch das Zerlegen in einfacher zu berechnende Teile und deren sequentielle Lösung bewältigt werden kann. Die Kenntnis des Trägheitsmoments ist für die Auslegung von Rotationsbewegungen und für das Verständnis der Dynamik von Objekten unabdingbar.

Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten sind in der Mathematik und Physik ein Koordinatensystem, das besonders nützlich ist, um die Geometrie von Kugeln und sphärischen Objekten zu beschreiben. Es wird verwendet, um die Position eines Punktes im dreidimensionalen Raum durch drei Werte zu definieren: den Radius \(r\), den Winkel \(\vartheta\) (auch Polar- oder Zenitwinkel genannt) und den Winkel \(\phi\) (Azimutwinkel). Der Radius gibt den Abstand vom Ursprung an, der Polarwinkel den Winkel relativ zur positiven Z-Achse und der Azimutwinkel die Rotation um die Z-Achse.

In der Aufgabe c) werden Kugelkoordinaten genutzt, um das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel zu bestimmen. Die Verwendung von Kugelkoordinaten bei der Integration erweist sich als äußerst vorteilhaft, da sie die Symmetrie der Kugel ausnutzen und zu einer Vereinfachung des Integrals beitragen. Das Volumenelement in Kugelkoordinaten, \(r^2 \text{sin}\vartheta d\text{\vartheta} d\text{\phi} dr\), hilft dabei, das Integral über das Volumen der Kugel auf effiziente Weise zu formulieren. Ein solides Verständnis von Kugelkoordinaten ist unerlässlich für das Lösen komplexer physikalischer Probleme, bei denen Sphären oder andere rotationssymmetrische Objekte eine Rolle spielen.