Question

Von den skalaren Feldern \(\varphi(x, y)\) sind der Gradient und die Höhenlinien zu berechnen. \(\varphi\) beschreibt eine Fläche. a) \(\varphi=-x-2 y+2\) b) \(\varphi=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}}\) c) \(\varphi=\frac{10}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

Short answer

In summation, the gradients of \(\varphi\) for the three equations are \((-1,-2)\), \((-x/2\sqrt{1-x^{2}/4-y^{2}/9},-y/3\sqrt{1-x^{2}/4-y^{2}/9})\), and \((-5x/(x^{2}+y^{2})^{3/2},-5y/(x^{2}+y^{2})^{3/2})\) respectively. The contour lines are straight line with the equation \(y=-\frac{1}{2}x+c-\frac{1}{2}\), ellipses with the equation \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1-c^{2}\), and a circle with radius \(10/c\) respectively.

Step-by-step solution

Calculate the gradient - Equation (a)

The gradient is calculated by taking the derivative of \(\varphi\) with respect to all variables. For the equation \(\varphi=-x-2 y+2\), the gradient is \(\nabla \varphi=(-\frac{\partial}{\partial x},-\frac{\partial}{\partial y})=(-1,-2)\).

Calculate contour lines - Equation (a)

Contour lines are calculated by setting \(\varphi\) to a constant 'c'. Hence, for the equation \(-x-2 y+2=c\), rearranging it the equation of the contour line becomes \(y=-\frac{1}{2}x-\frac{c}{2}+1\). The shape is a straight-line with slope \(-\frac{1}{2}\) .

Calculate the gradient - Equation (b)

For the equation \(\varphi=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}}\), the gradient is \(\nabla \varphi=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y})=(-\frac{x}{2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}}},-\frac{y}{3\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}}})\).

Calculate contour lines - Equation (b)

Setting \(\varphi\) to constant 'c' gives \(1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=c^{2}\). Rearranging this gives the equation for an ellipse: \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1-c^{2}\).

Calculate the gradient - Equation (c)

For the equation \(\varphi=\frac{10}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\), the gradient is \(\nabla \varphi=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y})=(-\frac{5x}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},-\frac{5y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}})\).

Calculate contour lines - Equation (c)

Setting \(\varphi\) to constant 'c' gives \(\frac{10}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=c\). Rearranging this gives us \(x^{2}+y^{2}=\left(\frac{10}{c}\right)^{2}\), which is a circle with radius \(\frac{10}{c}\).

Key concepts

Gradient eines Feldes

Der Gradient eines Feldes ist ein grundlegendes Konzept in der Vektoranalysis, das die Richtung und die Rate der größtmöglichen Zunahme eines skalaren Feldes beschreibt. In einer anschaulichen Zweidimensionalen Visualisierung repräsentiert der Gradient die Steigung der Fläche im dreidimensionalen Raum. Mathematisch wird der Gradient durch die partiellen Ableitungen des Feldes nach seinen Variablen ausgedrückt. Zum Beispiel ist der Gradient des Feldes \( \varphi=-x-2y+2 \) gegeben durch \( \abla \varphi=(-1,-2) \). Das bedeutet, die Fläche fällt am stärksten in Richtung des Vektors \( (-1,-2) \) ab.

Für ein besseres Verständnis sollte man sich merken, dass der Gradient immer senkrecht auf den Höhenlinien steht. Man kann ihn sich als Pfeil vorstellen, der an jedem Punkt der Fläche den steilsten Anstieg anzeigt. Diese Eigenschaft macht den Gradienten besonders nützlich, um die Flächeneigenschaften und das Verhalten von Funktionen zu untersuchen.

Höhenlinien bestimmen

Das Bestimmen von Höhenlinien, auch Konturlinien oder Niveaulinien genannt, ist eine Technik, um grafisch die Eigenschaften eines Feldes darzustellen, indem Punkte gleichen Wertes verbunden werden. Bei der Funktion \( \varphi=-x-2y+2 \) beispielsweise, erhält man Höhenlinien, indem man \( \varphi \) gleich einer Konstanten setzt. Diese Linien bilden dann gerade Linien im Koordinatensystem, die Ebenen unterschiedlicher Höhe repräsentieren. In der Gleichung \( y=-\frac{1}{2}x-\frac{c}{2}+1 \) steht die Variable 'c' für unterschiedliche Höhenwerte.

Vertiefendes Verständnis

Zum weiteren Verständnis hilft es, sich vorzustellen, dass Höhenlinien auf einer Landkarte ähnlich wie 'Familie von Kurven' interpretiert werden können. Die Abstände zwischen den Linien geben Auskunft über die Steilheit des Geländes: Je näher die Linien beieinanderliegen, desto steiler ist die Fläche. Analog dazu beschreiben die Höhenlinien in mathematischen Feldern das Verhalten der Funktion über der Ebene.

Berechnung von Konturlinien

Die Berechnung von Konturlinien ermöglicht es uns, die Form und Struktur einer Fläche grafisch darzustellen. Konturlinien für die Funktion \( \varphi=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}} \) zum Beispiel ergeben Ellipsen, was auf eine sanft gekrümmte Oberfläche hindeutet. Mit der Festlegung eines konstanten Wertes für \( \varphi \) und Umstellen der Gleichung kann man die exakte Form der Höhenlinien bestimmen. Im Falle von \( \varphi=\frac{10}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \) beschreiben die Konturlinien Kreise mit unterschiedlichen Radien und geben damit die Form einer kegelförmigen Erhebung wider.

Anwendungsbeispiel

Zur Veranschaulichung kann man sich einen Berg vorstellen: Die Höhenlinien zeigen einen Kreis auf Karten, wenn der Berg symmetrisch ist. Die Berechnung verrät also nicht nur die Form der Konturlinien, sondern auch das räumliche Objekt, das sie repräsentieren. So ist die visuelle Darstellung der Konturlinien nicht nur für das Lesen von Karten essentiell, sondern auch in vielen Bereichen der Physik und Technik unverzichtbar, um das Verhalten von physikalischen Größen zu verstehen und zu analysieren.