Question

A Bestimmen Sie die Linien gleicher Höhe, die den Abstand 0,5 von der \(x-y\)-Ebene haben, für die Flächen a) \(z=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}}\) b) \(z=-x-2 y+2\) Geben Sie die Funktionsgleichungen der zugehörigen Höhenlinien an.

Short answer

The isolines for the first surface are \(\sqrt{1 - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9}} = 0.5\) and \(-\sqrt{1 - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9}} = 0.5\). The isolines for the second surface are \(-x - 2y + 2 = 0.5\) and \(-x - 2y + 2 = -0.5\).

Step-by-step solution

Rewrite \(z\) as a function of \(x\) and \(y\)

For the first surface, \(z = \sqrt{1 - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9}}\), this equation is already solved for \(z\). For the second surface, \(z = -x - 2y + 2\), this equation is also solved for \(z\).

Use the distance formula from a point to a plane

The distance \(d\) from a point \((x_0, y_0, z_0)\) to the plane \(Ax + By + Cz + D = 0\) is given by the formula, \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\). In this problem, the plane of interest is the x-y plane, which has the equation \(0x + 0y + 1z - 0 = 0\) (or simply \(z = 0\)), and the point of interest is any point \((x, y, z)\) on the surface defined by the equations in Step 1. The distance from this point to the x-y plane is therefore given by the formula, \(d = \frac{|z - 0|}{\sqrt{1}} = |z|\). Set this value equal to 0.5 to solve for \(z\).

Solve for \(z\)

Setting \(d = 0.5\), you get \(|z| = 0.5\). Therefore, \(z = 0.5\) and \(z = -0.5\). For each value of \(z\), substitute these values back into the equations from Step 1 to find the isolines. For the first surface, you get \(\sqrt{1 - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9}} = 0.5\) and \(-\sqrt{1 - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9}} = 0.5\). For the second surface, you get \(-x - 2y + 2 = 0.5\) and \(-x - 2y + 2 = -0.5\). Solve these equations further if required to simplify the isolines.

Key concepts

Kontur-Zeichnung

Eine Kontur-Zeichnung, auch bekannt als Höhenliniendarstellung, ist eine nützliche Methode, um dreidimensionale Oberflächen auf einer zweidimensionalen Ebene zu visualisieren. Stellen Sie sich eine Landkarte vor, auf der Linien gleicher Höhe eingetragen sind, um das Relief des Geländes anzugeben.
In mathematischer Hinsicht repräsentieren diese Linien alle Punkte einer Funktion, die denselben Funktionswert haben. In unserem Übungsbeispiel haben wir die Aufgabe, Höhenlinien zu bestimmen, die den konstanten Abstand 0,5 von der x-y-Ebene haben. Das bedeutet, wir suchen nach den Umrissebenen der gegebenen Funktionen, bei denen alle Punkte der Fläche genau diesen vertikalen Abstand zur x-y-Ebene aufweisen.
Um dies zu bewerkstelligen, wird die gegebene dreidimensionale Funktion mit einem konstanten z-Wert (hier 0,5) gleichgesetzt und nach den Variablen x und y aufgelöst. Dies ergibt dann die Gleichung der Höhenlinie in der x-y-Ebene, welche man zeichnen könnte, um die Kontur der originalen dreidimensionalen Fläche darzustellen.

Dreidimensionale Flächen

Bei der Betrachtung von dreidimensionalen Flächen in der Mathematik stoßen wir auf Gleichungen, die Beziehungen zwischen drei Variablen, üblicherweise x, y und z, beschreiben. Diese Gleichungen können verschiedene Formen annehmen, wie etwa Kugeln, Zylinder oder Ebenen. In der vorliegenden Aufgabenstellung haben wir es mit zwei unterschiedlichen Flächentypen zu tun: Eine halbelliptische Paraboloide und eine Ebene, die beide durch ihre zugehörige Funktionsgleichung beschrieben sind.

• Für die halbelliptische Paraboloide Funktion, (\(z = \sqrt{1 - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9}}\)), stellt z die Höhe der Fläche über jedem Punkt (x, y) in der x-y-Ebene dar.
• Für die lineare Funktion, (\(z = -x - 2y + 2\)), definiert die Gleichung eine Ebene im Raum.

Die grafische Darstellung dieser Flächen liefert ein tieferes Verständnis ihrer Struktur und ermöglicht es uns, ihre charakteristischen Merkmale zu erkennen. Eine ebene Oberfläche hat die gleiche Steigung in alle Richtungen, wohingegen eine halbelliptische Paraboloide gekrümmt ist und ihre Steigung vom betrachteten Punkt abhängt.

Abstandsberechnung Punkt-Ebene

Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene ist ein grundlegendes Konzept der analytischen Geometrie. Es hilft bei der Bestimmung, wie weit ein Punkt von einer Ebene entfernt ist. In unserem Kontext, wo wir Höhenlinien in dreidimensionalen Flächen suchen, ist der Abstand von jedem Punkt auf der Fläche zur Grundebene (x-y-Ebene) entscheidend.
Um diesen Abstand zu bestimmen, verwendet man die Formel:
\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]
Dabei sind \((x_0, y_0, z_0)\) die Koordinaten des Punktes und Ax + By + Cz + D = 0 die Gleichung der Ebene. In unserem Fall ist die Ebene die x-y-Ebene mit der Ebenengleichung z = 0, welche die Koeffizienten A = 0, B = 0, und C = 1 hat.
Beim Setzen eines spezifischen Abstands, in diesem Fall 0,5, und der Lösung der Gleichungen für z, können wir den zugehörigen Wert in die Funktionen der dreidimensionalen Flächen einsetzen. Dadurch erhalten wir die Gleichungen der Höhenlinien, die auf der x-y-Ebene liegen und die Konturen der ursprünglichen Flächen für den gewünschten Abstand abbilden.