Question

A Bilden Sie die partiellen Ableitungen nach \(x, y\) und ggf. nach \(z\) von den Funktionen a) \(f(x, y)=\sin x+\cos y\) b) \(f(x, y)=x^{2} \sqrt{1-y^{2}}\) c) \(f(x, y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\) d) \(f(x, y, z)=x y z+x y+z\)

Short answer

The partial derivatives of the given functions are \n For function a) \(\frac{\partial f}{\partial x} = \cos x\), \(\frac{\partial f}{\partial y} = -\sin y\)\n For function b) \(\frac{\partial f}{\partial x} = 2x\sqrt{1-y^2}\), \(\frac{\partial f}{\partial y} = -x^{2}\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} \)\n For function c) \(\frac{\partial f}{\partial x} = -2x e^{-x^2 - y^2}\), \(\frac{\partial f}{\partial y} = -2y e^{-x^2 - y^2}\)\n For function d) \(\frac{\partial f}{\partial x} = yz + y\), \(\frac{\partial f}{\partial y} = xz + x\), \(\frac{\partial f}{\partial z} = xy + 1\)

Step-by-step solution

Find the Partial Derivatives of Function a

The function \(f(x, y)=\sin x + \cos y\). The partial derivative of this function with respect to \(x\) is \(\cos x\) and with respect to \(y\) is \(-\sin y\). This is done by simply taking the derivative of \(y\) as constant with respect to \(x\) and vice versa.

Find the Partial Derivatives of Function b

The function \(f(x, y)=x^{2} \sqrt{1-y^{2}} = x^{2} (1 - y^{2})^{\frac{1}{2}}\). The partial derivative with respect to \(x\): \(\frac{\partial f}{\partial x} = 2x\sqrt{1-y^2}\).The partial derivative with respect to \(y\): \(\frac{\partial f}{\partial y} = -x^{2}\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} \). This step involves using the power rule and the chain rule.

Find the Partial Derivatives of Function c

The function \(f(x, y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\). The partial derivative with respect to \(x\): \(\frac{\partial f}{\partial x} = -2x e^{-x^2 - y^2}\).The partial derivative with respect to \(y\): \(\frac{\partial f}{\partial y} = -2y e^{-x^2 - y^2}\). This step also involves using the chain rule.

Find the Partial Derivatives of Function d

The function \(f(x, y, z)=x y z + x y + z\). The partial derivative with respect to \(x\): \(\frac{\partial f}{\partial x} = yz + y\).The partial derivative with respect to \(y\): \(\frac{\partial f}{\partial y} = xz + x\).The partial derivative with respect to \(z\): \(\frac{\partial f}{\partial z} = xy + 1\). This step is done by taking the derivative with respect to each variable, keeping the other two variables as constants.

Key concepts

Partielle Differentiation

Die partielle Differentiation ist ein Verfahren zur Berechnung von Ableitungen von Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen. Sie misst, wie sich eine Funktion ändert, wenn sich eine der Variablen leicht verändert, während die anderen Variablen konstant gehalten werden.

• Um die partielle Ableitung von \( f(x, y) = \text{sin} x + \text{cos} y \) bezüglich \( x \) zu finden, behandelt man \( y \) als Konstante und leitet nur nach \( x \) ab, was \( \text{cos} x \) ergibt.
• Entsprechend erhält man \( -\text{sin} y \) als partielle Ableitung bezüglich \( y \), indem man \( x \) konstant hält.

Partielle Ableitungen sind grundlegend in verschiedenen Bereichen wie der Optimierung, bei der man das Maximum oder Minimum von Funktionen bestimmen möchte, die von mehreren Variablen abhängen.

Ableitungsregeln

Ableitungsregeln sind Formeln und Techniken, die verwendet werden, um die Ableitung einer Funktion zu bestimmen. Es gibt verschiedene Regeln, die auf bestimmte Funktionstypen oder Situationen angewendet werden:

• Die Produktregel wird verwendet, wenn die Funktion als Produkt von zwei Funktionen dargestellt werden kann.
• Die Quotientenregel wird angewendet, wenn eine Funktion als Quotient zweier Funktionen ausgedrückt wird.
• Die Kettenregel kommt zum Einsatz, wenn die Funktion als Zusammensetzung von zwei oder mehr Funktionen vorliegt.

Im Falle von \( f(x, y) = x^{2} \text{sqrt}{1-y^{2}} \), wird die Kettenregel genutzt, um die partielle Ableitung nach \( y \) zu berechnen, die sich als \( -x^{2}\frac{y}{\text{sqrt}{1-y^2}} \) ergibt.

Mathematische Physik

In der mathematischen Physik ist die partielle Differentiation ein wesentliches Werkzeug zur Beschreibung von Phänomenen in Systemen mit mehreren Variablen. Sie ermöglicht Analysen wie:

• Wellengleichungen, die Schwingungen und Wellenausbreitungen beschreiben.
• Wärmeleitungsgleichungen, die die Verteilung von Temperatur in verschiedenen Materialien charakterisieren.
• Maxwell-Gleichungen in der Elektrodynamik, die elektrische und magnetische Felder beschreiben.

Die partielle Ableitung von \( f(x, y) = e^{-\t(x^{2}+y^{2}\t)} \) in Bezug auf \( x \), die wichtige Aspekte von Diffusionsprozessen oder Wärmeströmungen darstellen kann, ist ein Beispiel für ihre Anwendung in solchen physikalischen Modellen.

Multivariable Funktionen

Multivariable Funktionen sind Funktionen, die von zwei oder mehr Variablen abhängen. In diesen Fällen sind partielle Ableitungen besonders nützlich, um die Steigung der Funktion in Bezug auf jede einzelne Variable zu ermitteln.

• Bei einer Funktion wie \( f(x, y, z) = x y z + x y + z \), die von drei Variablen abhängt, gibt es drei partielle Ableitungen – eine für jede Variable.
• Diese partiellen Ableitungen, wie \( \frac{\text{partial} f}{\text{partial} x} = yz + y \), zeigen uns, wie sich die Funktion verändert, wenn eine spezifische Variable variiert, während die anderen konstant gehalten werden.

Die Untersuchung solcher Funktionen ist in der multivariaten Analysis Standard und vermittelt ein tiefgreifendes Verständnis von den Beziehungen zwischen den Variablen in komplexen Systemen.