Question

A Teilen Sie die folgenden Ausdrücke ein in skalare Felder, Vektorfelder und sonstige Ausdrücke a) \(\frac{m M}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) b) \(\frac{m M(x, y, z)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}\) c) \(C e^{-\frac{x^{2}+y^{2}+x^{2}}{k T}}\) d) \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\) e) \(-m g \vec{e}_{z}\) B Berechnen Sie das Vektorfeld $$ \vec{A}(x, y, z)=\left(x^{2}, y, x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) $$ an folgenden Punkten a) \(P_{1}=(0,0,1)\) b) \(P_{2}=(1,1,1)\) c) \(P_{3}=(1,0,0)\) C Geben Sie an, welche Vektorfelder homogen, welche radialsymmetrisch sind und welche zu keinem der beiden Typen gehören. a) \(a(1,1,0)\) b) \(\frac{\vec{r}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\) c) \((x, z, y)\) d) \((x, y, z)\) e) \(x(1,5,2)\) f) \(-m g \overrightarrow{e_{z}}\) g) \(\frac{(x, y, z)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5}}\)

Short answer

Part A: a) Scalar Field, b) Vector Field, c) Scalar Field, d) Other, e) Vector field\Part B: \(P_{1}=(0,0,1)\), \(P_{2}=(1,1,3)\), \(P_{3}=(1,0,1)\)\Part C: a) Homogenous, b) Radially symmetric, c) Neither, d) Homogenous, e) Homogenous, f) Homogenous, g) Radially symmetric

Step-by-step solution

Part A: Categorizing Expressions

We should categorize the given expressions into scalar fields, vector fields, and other expressions. \For a) \(\frac{m M}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) is a scalar field since it doesn't contain a direction.\For b) \(\frac{m M(x, y, z)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}\) is a vector field as it includes a directional component (x, y, z).\For c) \(C e^{-\frac{x^{2}+y^{2}+x^{2}}{k T}}\) this is a scalar field as there are no directional components.\For d) \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\), this expression is neither a scalar field nor a vector field. It's an equation of an ellipse.\For e) \(-m g \vec{e}_{z}\), this is a vector field since it has a definite direction \( \vec{e}_{z}\).

Part B: Calculating the Vector Field

We calculate the vector field \(\vec{A}(x, y, z)=\left(x^{2}, y, x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\) at the specified points.\For a) \(P_{1}=(0,0,1)\), substituting these values in, \(\vec{A}(P_1)=(0^{2},0,0^{2}+0^{2}+1^{2}) = (0,0,1)\).\For b) \(P_{2}=(1,1,1)\), \(\vec{A}(P_2)=(1^{2},1,1^{2}+1^{2}+1^{2}) = (1,1,3)\).\For c) \(P_{3}=(1,0,0)\), \(\vec{A}(P_3)= (1^{2},0,1^{2}+0^{2}+0^{2}) = (1,0,1)\).

Part C: Classifying More Vector Fields

We should categorize the given vector field expressions into homogenous, radially symmetric, or neither.\For a) \(a(1,1,0)\) is homogenous because its values don't change with distance from the origin.\For b) \(\frac{\vec{r}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\) is radially symmetric as its vector line always points toward the origin.\For c) \((x, z, y)\) is neither homogenous nor radially symmetric. This vector field doesn't match any of our criteria.\For d) \((x, y, z)\) is homogenous. Every point in space receives a vector that points away from the origin with a magnitude proportional to its distance.\For e) \(x(1,5,2)\) is homogenous since the vector's magnitude and direction remain constant throughout.\For f) \(-m g \overrightarrow{e_{z}}\) is homogenous since this is a constant gravitational field.\For g) \(\frac{(x, y, z)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5}}\) is radially symmetric because it emits lines uniformly in all directions and its value decreases in intensity in a radial direction.

Key concepts

Skalarfelder

Ein Skalarfeld ist in der Physik eine Funktion, die jedem Punkt im Raum eine eindeutige skalare Größe zuordnet. Im Gegensatz zu Vektorfeldern haben Skalarfelder keine Richtung - sie beziehen sich auf Werte wie Temperatur, Druck oder Dichte, die durch eine einzelne Zahl an jedem Punkt im Raum beschrieben werden können.

Beispiel a) aus der Aufgabenstellung \(\frac{m M}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) ist ein solches Skalarfeld. Es ordnet jedem Punkt im Raum eine skalare Größe zu basierend auf dessen Koordinaten x, y und z. Genauso verhält es sich mit Beispiel c) \(C e^{-\frac{x^{2}+y^{2}+x^{2}}{k T}}\), welches typischerweise in der Thermodynamik zur Beschreibung der Temperaturverteilung im Kontext der Wärmeleitung verwendet werden könnte. Beide Beispiele zeigen, dass Skalarfelder kritische Konzepte in verschiedenen Disziplinen der Physik sind und dabei helfen können, die Eigenschaften eines Systems ohne die Komplexität von Richtungsinformationen zu beschreiben.

Homogene Vektorfelder

Ein homogenes Vektorfeld ist ein Feld, in dem die Vektoren an jedem Punkt im Raum gleich groß und gleichgerichtet sind. Hier wird das Feld nicht durch die Position im Raum beeinflusst und weist eine konstante Verteilung auf. Dies ist stark im Gegensatz zu anderen Feldern, bei denen die Vektoren sich von Punkt zu Punkt in Größe oder Richtung ändern können.

Als Beispiele aus der Aufgabenstellung sind die Ausdrücke a) \(a(1,1,0)\), d) \( (x, y, z)\) und e) \(x(1,5,2)\) homogene Vektorfelder. Beispiel f) \( -m g \overrightarrow{e_{z}}\) verdeutlicht ein homogenes Vektorfeld im Kontext der Erdbeschleunigung, welche überall auf der Erdoberfläche als gleich angenommen wird. Diese Übersicht zeigt, wie homogene Vektorfelder ideale Modelle für Situationen bieten, wo wir von gleichen Bedingungen über den gesamten Raum ausgehen, wie im Falle eines konstanten Gravitationsfeldes.

Radialsymmetrische Vektorfelder

Ein radialsymmetrisches Vektorfeld ist ein besonderer Typ von Vektorfeld, bei dem die Vektoren vom Ursprung radial nach außen oder nach innen zeigen und deren Größe nur vom Abstand zum Ursprung abhängt. Dieses Modell wird oft verwendet, um Felder wie das Gravitationsfeld um einen Massenpunkt oder das elektrische Feld einer Punktladung zu beschreiben.

In unserer Aufgabenstellung ist b) \(\frac{\vec{r}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\) ein Beispiel für ein radialsymmetrisches Vektorfeld, weil die Richtung des Vektors immer auf den Koordinatenursprung zeigt und seine Größe nur von der Entfernung zum Ursprung abhängt. Ebenso verhält es sich mit g) \(\frac{(x, y, z)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5}}\), wobei der Einfluss des Feldes nach außen radial abnimmt. Solche Felder sind in der Praxis extrem wichtig, da sie eine einfache mathematische Behandlung von Problemen ermöglichen, bei denen die Symmetrie des Feldes ausgenutzt werden kann.