Question

Gegeben sei \(f(x)\). Bestimmen Sie diejenigen Stammfunktionen \(F(x)\) zu \(f(x)\), die die angegebenen Randbedingungen erfüllen: a) \(f(x)=3 x\) Randbedingung: \(F(1)=2\) b) \(f(x)=3 x\) Randbedingung: \(F(2)=1\) c) \(f(x)=3 x \quad\) Randbedingung: \(F(0)=0\) d) \(f(x)=2 x+3\) Randbedingung: \(F(1)=0\)

Short answer

a) \ F(x) = \frac{3x^2}{2} + \frac{1}{2} b) \ F(x) = \frac{3x^2}{2} - 5 c) \ F(x) = \frac{3x^2}{2} d) \ F(x) = x^2 + 3x - 4

Step-by-step solution

- Allgemeine Stammfunktion finden

Beginnen Sie damit, die allgemeine Stammfunktion von der Funktion zu finden. Für a), b) und c) ist die Funktion gegeben als \(f(x) = 3x\). Für d) ist die Funktion gegeben als \(f(x) = 2x + 3\).Die allgemeine Stammfunktion für \(f(x) = 3x\) ist \[ F(x) = \int 3x \, dx = \frac{3x^2}{2} + C \] wobei \(C\) eine Konstante ist.Für \(f(x) = 2x + 3\) ist die allgemeine Stammfunktion \[ F(x) = \int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C \] wobei \(C\) eine Konstante ist.

- Randbedingung für a) anwenden

Nutzen Sie die Randbedingung \(F(1) = 2\), um \(C\) zu finden:\[ F(1) = \frac{3(1)^2}{2} + C = 2 \]Lösen Sie nach \(C\) auf:\[ \frac{3}{2} + C = 2 \]\[ C = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \]

- Ergebnis für a)

Setzen Sie \(C \) zurück in die Stammfunktion ein:\[ F(x) = \frac{3x^2}{2} + \frac{1}{2} \]

- Randbedingung für b) anwenden

Nutzen Sie die Randbedingung \(F(2) = 1\), um \(C\) zu finden:\[ F(2) = \frac{3(2)^2}{2} + C = 1 \]Lösen Sie nach \(C\) auf:\[ \frac{12}{2} + C = 1 \]\[ 6 + C = 1 \]\[ C = 1 - 6 = -5 \]

- Ergebnis für b)

Setzen Sie \(C\) zurück in die Stammfunktion ein:\[ F(x) = \frac{3x^2}{2} - 5 \]

- Randbedingung für c) anwenden

Nutzen Sie die Randbedingung \(F(0) = 0\), um \(C\) zu finden:\[ F(0) = \frac{3(0)^2}{2} + C = 0 \]Lösen Sie nach \(C\) auf:\[ 0 + C = 0 \]\[ C = 0 \]

- Ergebnis für c)

Setzen Sie \(C\) zurück in die Stammfunktion ein:\[ F(x) = \frac{3x^2}{2} \]

- Randbedingung für d) anwenden

Nutzen Sie die Randbedingung \(F(1) = 0\), um \(C\) zu finden:\[ F(1) = (1)^2 + 3(1) + C = 0 \]Lösen Sie nach \(C\) auf:\[ 1 + 3 + C = 0 \]\[ 4 + C = 0 \]\[ C = -4 \]

- Ergebnis für d)

Setzen Sie \(C\) zurück in die Stammfunktion ein:\[ F(x) = x^2 + 3x - 4 \]

Key concepts

Randbedingungen in der Mathematik

Randbedingungen spielen eine zentrale Rolle bei der Bestimmung von Funktionen in der Mathematik. Sie sind spezifische Werte, die von der Funktion angenommen werden müssen, um eindeutige Lösungen zu garantieren. Oft findet man Randbedingungen in der Differentialgleichungslösung und Integralrechnung.

In unserem Beispiel wurde die Stammfunktion einer gegebenen Funktion durch eine spezifische Randbedingung eindeutig bestimmt.

Beispiel: Bei der Funktion \(f(x) = 3x\) mit der Randbedingung \(F(1) = 2\) setzt man \(x= 1\) in die allgemeine Stammfunktion \(F(x) = \frac {3x^2}{2} + C\) ein und löst nach \(C\) auf.

Integration

Integration ist ein grundlegendes Konzept in der Mathematik und besonders für Physiker immens wichtig. Es geht darum, die Fläche unter einer Kurve zu bestimmen. Im Gegensatz zur Differentiation, die die Änderungsrate einer Funktion beschreibt, gibt die Integration die Gesamtmenge an, die durch eine Funktion angesammelt wird.

Eine wichtige Methode ist die unbestimmte Integration, bei der man die Stammfunktion einer Funktion findet.

Beispiel: Für die Funktion \(f(x) = 3x\) ist die Stammfunktion gegeben durch:
\[F(x) = \int 3x \ dx = \frac{3x^2}{2} + C\]

Hier ist \(C\) die Konstante der Integration, die durch Randbedingungen bestimmt werden kann. Wenn wir beispielsweise die Randbedingung \(F(1) = 2\) haben, setzen wir dies in die Stammfunktion ein und lösen nach \(C\).

Mathematik für Physiker

Physiker verwenden Mathematik als Werkzeug zur Beschreibung und Analyse physikalischer Phänomene. Ein tiefes Verständnis der mathematischen Prinzipien ist daher unerlässlich. Dabei spielt die Integrationsrechnung eine besonders große Rolle, sei es bei der Berechnung von Bewegungen, Kräften oder Energie.

Beispiel: Eine häufig auftretende Funktion ist \(f(x) = 2x + 3\). Um die Gesamtenergie eines materiellen Systems zu bestimmen, wird die Stammfunktion dieser Funktion benötigt: \[F(x) = \int (2x + 3) dx = x^2 + 3x + C\]

Durch die Anwendung einer Randbedingung, etwa \(F(1) = 0\), kann der Wert \(C\) gefunden und somit die Gesamtenergie präzise berechnet werden.