Question

Homes may be heated by pumping hot water through radiators. What mass of water will provide the same amount of heat when cooled from 95.0 to 35.0 °C, as the heat provided when 100 g of steam is cooled from 110 °C to 100°C.

Short answer

The mass of water required to produce the same heat is $7.43g$ as the heat provided during steam conversion.

Step-by-step solution

Given data

In the following problem, two states of water are mentioned, one is a liquid state and another gaseous (steam) state.

In case of liquid water, the state of water changes from ${95}^{\circ }C{\mathrm{t}\mathrm{o}35}^{\circ }\mathrm{C}$. In case of steam, the temperature of steam changes from ${110}^{\circ }C{\mathrm{t}\mathrm{o}100}^{\circ }\mathrm{C}$.

As per the problem, we have to calculate the mass of water that will provide the same amount of heat. This is the amount of heat provided by steam on its conversion.

Amount of heat released

To solve the problem, we will first calculate the amount of heat released when the state of steam is changed.

$\begin{array}{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t},\mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{d}=\mathrm{q}\\ \mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a},\mathbf{q}\mathbf{=}\mathbf{m}\mathbf{s}\mathbf{\Delta }\mathbf{T}............(1)\\ [\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e},\mathrm{q}=\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{d},\\ \mathrm{m}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{m}=100\mathrm{g}\\ \mathrm{s}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{m}=1{.864\mathrm{J}/\mathrm{g}}^{\circ }\mathrm{C}\\ \mathrm{\Delta }\mathrm{T}=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}=\left({\mathrm{T}}_{final}-{\mathrm{T}}_{initial}\right)\\ =\left({100}^{\circ }C-{110}^{\circ }C\right)\\ =-{10}^{\circ }\mathrm{C}\\ \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}(1),\\ \mathrm{q}=100\mathrm{g}\times 1{.864\mathrm{J}/\mathrm{g}}^{\circ }\mathrm{C}\times -{10}^{\circ }\mathrm{C}\\ =-1864\mathrm{J}\end{array}$.

So, we have calculated the amount of heat released by steam during its conversion.

Mass of water required

Now, we have to calculate the mass of water required to produce the same amount of heat during its conversion.

$\begin{array}{l}\mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{d},{\mathrm{q}}_{water}=-1864J\\ {\mathbf{q}}_{\mathbf{w}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{e}\mathbf{r}}\mathbf{=}{\mathbf{m}}_{\mathbf{w}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{e}\mathbf{r}}\times {\mathbf{s}}_{\mathbf{w}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{e}\mathbf{r}}\times \mathbf{\Delta }\mathbf{T}....................(2)\\ \mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e},{\mathrm{m}}_{\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\{\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\}\\ {\mathrm{s}}_{\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}=4{.184\mathrm{J}/\mathrm{g}}^{\circ }\mathrm{C}\\ \mathrm{\Delta }\mathrm{T}=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}=(35-95{)}^{\circ }C\\ =-{60}^{\circ }C\\ \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}(2),\\ -1864J={\mathrm{m}}_{\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}\times 4{.184\mathrm{J}/\mathrm{g}}^{\circ }\mathrm{C}\times -{60}^{\circ }C\\ \Rightarrow {\mathrm{m}}_{\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}=\frac{-1864J}{4{.184\mathrm{J}/\mathrm{g}}^{\circ }\mathrm{C}\times -{60}^{\circ }C}=7.43g\end{array}$

Hence, the mass of water required to produce the same heat is $7.43g$ of water.