Question

Question: A balloon filled with helium gas is found to take6hours to deflate to50%of its original volume. How long will it take for an identical balloon filled with the same volume of hydrogen gas (instead of helium) to decrease its volume by 50%?

Short answer

It will take $4.2\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{s}$ for an identical balloon filled with the same volume of hydrogen gas (instead of helium) to decrease its volume by $50\mathrm{\%}$.

Step-by-step solution

Graham’s Law

Graham's law states that a gas's rate of diffusion or effusion is inversely related to its square root of molecular weight.

Deriving equation for rate of effusion

According to Graham’s Law

Rate of Effusion$\propto \frac{1}{\sqrt{\mu }}$.

where$\mu$is the molar mass.

Hence, we have

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{A}}{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{B}}=\frac{\sqrt{{\mu }_{\mathrm{B}}}}{\sqrt{{\mu }_{\mathrm{A}}}}\\ \frac{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}}{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{m}}=\frac{\sqrt{{\mu }_{\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{m}}}}{\sqrt{{\mu }_{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}}}}\\ =\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}}\\ =\frac{2}{\sqrt{2}}\\ =\sqrt{2}\\ \frac{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}}{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{m}}=\sqrt{2}\\ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}=\sqrt{2}(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{m})\end{array}$

Calculation of time taken

Now, to obtain the time, we have

$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}{\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}$

Rate of effusion $\propto \frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}$

Time for effusion of Hydrogen $=\frac{1}{\sqrt{2}}$x Time of effusion of Helium

$\begin{array}{c}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\times (6)\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{s}\\ =\frac{6}{\sqrt{2}}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{s}\\ =4.2\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{s}\end{array}$

Therefore, the value for time is $4.2\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{s}$.